Что обозначает цифра в анализе фурье. Временные ряды в STATISTICA. Спектральный (Фурье) анализ. Непрерывная функция и представление её рядом Фурье
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ФУРЬЕ И КЛАССИЧЕСКИЙ ЦИФРОВОЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ.
Медведев С.Ю., к.ф.-м..н.
Введение
Спектральный анализ - один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала. Преобразование Фурье является математической основой, которая связывает временной или пространственный сигнал (или же некоторую модель этого сигнала) с его представлением в частотной области. Важную роль в спектральном анализе играют методы статистики, поскольку сигналы, как правило, имеют случайный характер или зашумлены при распространении или измерении. Если бы основные статистические характеристики сигнала были точно известны, или их можно было определить по конечному интервалу этого сигнала, то спектральный анализ представлял бы собой отрасль "точной науки". Однако, в действительности по отрезку сигнала можно получить только оценку его спектра. Поэтому практика спектрального анализа - некое ремесло (или искусство?) достаточно субъективного характера. Различие между спектральными оценками, получаемыми в результате обработки одного и того же отрезка сигнала разными методами, можно объяснить различием допущений, принятых относительно данных, различными способами усреднения и т.п. Если априори характеристики сигнала не известны, нельзя сказать какие из оценок лучше.
Преобразование
Фурье - математическая основа спектрального анализа
Кратко обсудим разные виды преобразования Фурье (более
подробно см. в ).
Начнем с преобразования Фурье непрерывного во времени
сигнала
,
(1)
которое
идентифицирует частоты и амплитуды тех комплексных синусоид (экспонент),
на которые разлагается некоторое произвольное колебание.
Обратное преобразование
. (2)
Существование прямого и обратного преобразования Фурье
(которое в дальнейшем мы будем называть непрерывно-временным преобразованием
Фурье - НВПФ) определяется рядом условий. Достаточное - абсолютная интегрируемость
сигнала
. (3)
Менее ограничительное достаточное условие - конечность энергии сигнала
. (4)
Приведем ряд основных свойств преобразования Фурье и
функций, используемых далее, заметив, что прямоугольное окно определяется
выражением
(5)
а функция sinc - выражением
(6)
Функция
отсчетов во временной области определяется выражением
(7)
Эту функцию иногда называют также функцией периодического продолжения.
Таблица 1. Основные свойства НВПФ и функции
|
Свойство, функция |
Функция |
Преобразование |
| Линейность |
ag(t) + bh(t) |
aG(f) + bH(f) |
| Сдвиг по времени |
h (t - t 0) |
H(f)exp(-j2pf t 0) |
| Сдвиг по частоте (модуляция) |
h (t)exp(j2pf0 t) |
H(f - f 0) |
| Масштабирование |
(1 / |a|)h(t / a) |
H(af) |
| Теорема свертки во временной области |
g(t)*h(t) |
|
| Теорема свертки в частотной области |
g(t) h(t) |
G(f)*H(f) |
| Функция окна |
Aw(t / T) |
2ATsinc(2Tf) |
| Функция sinc |
2AFsinc(2Ft) |
Aw(f / F) |
| Импульсная функция |
Ad(t) |
|
| Функция отсчетов |
T(f) |
FF(f), F=1/T |
Еще одно важное свойство устанавливается теоремой Парсеваля для двух функций g(t) и h(t):
. (8)
Если
положить g(t) = h(t), то теорема Парсеваля сводится к теореме для энергии
. (9)
Выражение (9) - это, в сущности, просто формулировка закона сохранения энергии в двух областях (временной и частотной). В (9) слева стоит полная энергия сигнала, таким образом, функция
(10)
описывает распределение энергии по частоте для детерминированного сигнала h(t) и поэтому называется спектральной плотностью энергии (СПЭ). С помощью выражений
(11)
можно вычислить амплитудный и фазовый спектры сигнала h(t).
Операции дискретизации и взвешивания
В следующем разделе мы введем дискретно-временной ряд Фурье (ДВРФ) или иначе дискретное преобразование Фурье (ДПФ) как частный случай непрерывно-временного преобразования Фурье (НВПФ) с использованием двух базовых операций обработки сигналов - взятия отсчетов (дискретизации ) и взвешивания с помощью окна. Здесь рассмотрим влияние этих операций на сигнал и его преобразование. В таблице 2 перечислены функции, с помощью которых осуществляется взвешивание и дискретизация.
При равномерных отсчетах с интервалом T секунд частота отсчетов F равна 1 /T Гц. Заметим, что взвешивающая функция и функция отсчетов во временной области обозначаются соответственно TW (time windowing) и TS (time sampling), а в частотной области - FW (frequency windowing) и FS (frequency sampling).
Таблица 2. Взвешивание и дискретизирующие функции
|
Операция |
Функция времени |
Преобразование |
| Взвешивание во временной области (ширина окна NT сек) |
TW=w(2t / NT - 1) |
F{TW}=NTsinc(NTf)exp(-jpNTf) |
| Взвешивание в частотной области (ширина окна 1/T Гц) |
|
FW=w(2Tf) |
| Отсчеты во времени (интервалом T сек) |
TS=T T (t) |
|
| Отсчеты по частоте (с интервалом 1/NT Гц) |
|
|
Предположим,
что берутся отсчеты непрерывного действительного сигнала x(t) c ограниченным
спектром, верхняя частота которого равна F0. НВПФ действительного сигнала
- это всегда симметричная функция с полной шириной 2F0, см. рис.1.
Отсчеты сигнала x(t) могут быть получены посредством
умножения этого сигнала на функцию отсчетов:
(12)
Рис.1
- иллюстрация теоремы отсчетов во временной области для действительного
сигнала с ограниченным спектром:
а - исходная функция времени и ее преобразование Фурье;
б - функция отсчетов во времени и ее преобразование Фурье;
в - временные отсчеты исходной функции и ее периодически продолженное
преобразование Фурье для случая Fo<1/2T;
г - частотное окно (идеальный фильтр нижних частот) и его преобразование
Фурье (функция sinc);
д - исходная функция времени, восстановленная посредством операции свертки
с функцией sinc.
В соответствии с теоремой о свертке в частотной области,
НВПФ сигнала x(t) - это просто свертка спектра сигнала x(t) и преобразования
Фурье функции отсчетов по времени (TS):
. (13)
Свертка
X(f) c преобразованием Фурье функции отсчетов F {TS}=Y1/T(f) просто
периодически продолжает X(f) с частотным интервалом 1/T Гц. Поэтому XS(f)
представляет собой периодически продолженный спектр X(f). В общем случае
отсчеты в одной области (например, временной) приводят к периодическому
продолжению в области преобразования (например, частотной). Если частота
отсчетов выбрана достаточно низкой (F < 2Fo), то периодически продолженные
спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название
эффекта наложения в частотной области.
Для того, чтобы восстановить исходный временной сигнал
по его отсчетам, т.е. осуществить интерполяцию некоторого континуума значений
между этими отсчетами, можно пропустить дискретизованные данные через
идеальный фильтр нижних частот с прямоугольной частотной характеристикой
(рис. 1 г)
. (14)
В результате (см. Рис. 1 д) восстанавливается исходное преобразование Фурье. Используя теоремы о свертке во временной и частотной областях, получаем
. (15)
Выражение
(15) представляет собой математическую запись теоремы отсчетов во временной
области
(теоремы Уиттекера, Котельникова, Шеннона - УКШ), которая
утверждает, что с помощью интерполяционной формулы (15) действительный
сигнал с ограниченным спектром может быть точно восстановлен по бесконечному
числу
известных временных отсчетов, взятых с частотой F і 2F0. Дуальной
к теореме (15) является теорема отсчетов в частотной области
для
сигналов с ограниченной длительностью.
Операции во временной области, аналогичные (14), описываются
выражением
, (16)
а соответствующие преобразования - выражениями
Таким образом, НВПФ X(f) некоторого сигнала с ограниченной длительностью может быть однозначно восстановлено по эквидистантным отсчетам спектра такого сигнала, если выбранный интервал отсчетов по частоте удовлетворяет условию F1/2T 0 Гц, где T 0 - длительность сигнала.
Соотношения между непрерывными и дискретными преобразованиями
Пара преобразований для обычного определения дискретного преобразования Фурье (ДПФ) N-точечной временной последовательности x[n] и соответствующей ей N-точечной последовательности преобразования Фурье X[k] дается выражениями
,
(18)
. (19)
Чтобы по отсчетам данных получить спектральные оценки в соответствующих единицах измерения энергии или мощности, запишем дискретно-временной ряд Фурье (ДВРФ), который можно рассматривать как некоторую аппроксимацию непрерывно-временного преобразования Фурье (НВПФ), основанную на использовании конечного числа отсчетов данных:
Для того, чтобы показать характер соответствия ДВРФ (дискретные функции и во временной и в частотной областях) и НВПФ (непрерывные функции во временной и в частотной областях), нам потребуется последовательность из четырех линейных коммутативных операций: взвешивания во временной и частотной областях и взятия отсчетов или дискретизации как во временной, так и в частотной областях. Если операция взвешивания выполняется в одной из этих областей, то, согласно теореме свертки, ей будет соответствовать выполнение операции фильтрации (свертки) в другой области с функцией sinc. Точно также, если в одной области выполняется дискретизация, то в другой выполняется операция периодического продолжения. Так как взвешивание и взятие отсчетов являются линейными и коммутативными операциями, то возможны различные способы их упорядочения, дающие одинаковый конечный результат при различных промежуточных результатах. На рис.2 показаны две возможные последовательности выполнения этих четырех операций.
Рис.
2. Две возможные последовательности из двух операций взвешивания и двух
операций взятия отсчетов, связывающие НВПФ и ДВРФ: FW - применение окна
в частотной области; TW - применение окна во временной области; FS - взятие
отсчетов в частотной области; TS - взятие отсчетов во временной области.
1 - преобразование Фурье с непрерывным временем, уравнение (1);
4 - преобразование Фурье с дискретным временем, уравнение (22);
5 - ряд Фурье с непрерывным временем, уравнение (25);
8 - ряд Фурье с дискретным временем, уравнение (27)
В результате выполнения операций взвешивания и взятия
отсчетов в узлах 1, 4, 5 и 8 будут иметь место четыре различных типа соотношений
Фурье. Узлы, в которых функция в частотной области непрерывна
,
относятся к преобразованиям
Фурье, а узлы, в которых функция в
частотной области дискретна
относятся к рядам Фурье
(подробнее
см. в ).
Так в узле 4 взвешивание в частотной и дискретизация
во временной области порождает дискретно-временное преобразование
Фурье (ДВПФ), которое характеризуется периодической функцией спектра в
частотной области с периодом 1/T Гц:
(22)
(23)
Заметим, что выражение (22) определяет некоторую периодическую
функцию, совпадающую с заданной в узле 1 исходной преобразованной функцией
только на интервале частот от -1/2T до 1/2T Гц. Выражение (22) связано
с Z-преобра-зованием дискретной последовательности x[n] соотношением
(24)
Таким
образом, ДВПФ - это просто Z-преобразование, вычисленное на единичной
окружности и умноженное на T.
Если продвигаться от узла 1 к узлу 8 на рис.2 по нижней
ветви, в узле 5 операции взвешивания во временной области (ограничения
длительности сигнала) и дискретизации в частотной порождают непрерывно-временной
ряд Фурье (НВРФ). Используя приведенные в таблицах 1 и 2 свойства и определения
функций, получим следующую пару преобразований
(25)
(26)
Заметим, что выражение (26) определяет некоторую периодическую
функцию, которая совпадает с исходной (в узле 1) только на интервале времени
от 0 до NT.
Независимо от того, какая из двух последовательностей
четырех операций выбрана, окончательный результат в узле 8 будет одним
и тем же - дискретно-временным рядом Фурье
, которому соответствует
следующая пара преобразований, полученных с использованием свойств, указанных
в таблице 1.
, (27)
где k=-N/2, . . . ,N/2-1
,
(28)
где
n=0, . . . ,N-1 ,
Теорема о энергии для этого ДВРФ имеет вид:
,
(29)
и характеризует энергию последовательности из N отсчетов данных. Обе последовательности x[n] и X[k] периодичны по модулю N, поэтому (28) можно записать в форме
, (30)
где 0 n N. Множитель T в (27) - (30) необходим для того, чтобы (27) и (28) являлись в действительности аппроксимацией интегрального преобразования в области интегрирования
.(31)
Дополнение нулями
С помощью процесса, называемого дополнением нулями , дискретно-временной ряд Фурье может быть изменен для интерполяции между N значениями исходного преобразования. Пусть имеющиеся отсчеты данных x,...,x дополнены нулевыми значениями x[N],...X. ДВРФ этой дополненной нулями 2N-точечной последовательности данных будет определяться выражением
(32)
где
верхний предел суммы справа изменен в соответствии с наличием нулевых
данных. Пусть k=2m, так что
,
(33)
где m=0,1,...,N-1, определяет четные значения X[k]. Отсюда видно, что при четных значениях индекса k 2N-точечный дискретно-временной ряд Фурье сводится к N-точечному дискретно-временному ряду. Нечетные значения индекса k соответствуют интерполированным значениям ДВРФ, расположенным между значениями исходного N-точечного ДВРФ. По мере того, как все большее число нулей добавляется в исходную N-то-чечную последовательность, можно получить еще большее число интерполированных данных. В предельном случае бесконечного числа вводимых нулей ДВРФ может рассматриваться как дискретно-временное преобразование Фурье N-то-чечной последовательности данных:
.
(34)
Преобразование
(34) соответствует узлу 6 на рис.2.
Бытует неправильное мнение о том, что дополнение нулями
улучшает разрешение, поскольку оно увеличивает длину последовательности
данных. Однако, как следует из рис.3, дополнение нулями не улучшает
разрешающую способность преобразования, полученного по заданной конечной
последовательности данных. Дополнение нулями просто позволяет получить
интерполированное преобразование более сглаженной формы
. Кроме
того, оно устраняет неопределенности, обусловленные наличием узкополосных
компонент сигнала, частоты которых лежат между N точками, соответствующими
оцениваемым частотам исходного ДВРФ. При дополнении нулями повышается
также и точность оценивания частоты спектральных пиков. Под термином спектральное
разрешение мы будем понимать способность различать спектральные отклики
двух гармонических сигналов. Общепринятое эмпирическое
правило, часто используемое при спектральном анализе, гласит, что разнесение
различаемых синусоид по частоте не может быть меньше эквивалентной
ширины полосы окна
, через которое наблюдаются сегменты (отрезки) этих
синусоид.
Рис.3.
Интерполяция за счет дополнения нулями:
а - модуль ДВРФ 16-ти точечной записи данных, содержащих три синусоиды
без дополнения нулями (видны неопределенности: нельзя сказать сколько
в сигнале синусоид - две, три или четыре);
б - модуль ДВРФ той же последовательности после двукратного увеличения
числа ее отсчетов за счет дополнения 16 нулями (неопределенности разрешены,
так как различимы все три синусоиды;
в - модуль ДВРФ той же последовательности после четырехкратного увеличения
числа ее отсчетов за счет дополнения нулями.
Эквивалентная ширина полосы окна может быть определена
как
где W(f) - дискретно-временное преобразование Фурье функции окна, например,
прямоугольного (5). Аналогично можно ввести эквивалентную длительность
окна
Можно показать, что эквивалентная длительность окна (или любого другого сигнала) и эквивалентная ширина полосы его преобразования являются взаимно обратными величинами: TeBe=1.
Быстрое преобразование Фурье
Быстрое
преобразование Фурье (БПФ) - это не еще одна разновидность преобразования
Фурье, а название целого ряда эффективных алгоритмов
, предназначенных
для быстрого вычисления дискретно-временного ряда Фурье. Основная
проблема, возникающая при практической реализации ДВРФ, заключена в большом
количестве вычислительных операций, пропорциональном N2. Хотя еще задолго
до появления компьютеров было предложено несколько эффективных вычислительных
схем, позволяющих существенно сократить число вычислительных операций,
настоящую революцию произвела публикация в 1965 году статьи Кули (Cooly)
и Тьюки (Tukey) c практическим алгоритмом быстрого (число операций Nlog 2 N)
вычисления ДВРФ. После этого было разработано множество вариантов, усовершенствований
и дополнений основной идеи, составивших класс алгоритмов, известных под
названием быстрого преобразования Фурье. Основная идея БПФ - деление N-точечного
ДВРФ на два и более ДВРФ меньшей длины, каждый из которых можно вычислить
отдельно, а затем линейно просуммировать с остальными, с тем чтобы получить
ДВРФ исходной N-точечной последовательности.
Представим дискретное преобразование Фурье (ДВРФ) в виде
, (35)
где величина W N =exp(-j2 /N) носит название поворачивающего множителя (здесь и далее в этом разделе период выборки T=1). Выделим из последовательности x[n] элементы с четными и нечетными номерами
. (36)
Но
так как
то
. Следовательно,
(36) можно записать в виде
, (37)
где каждое из слагаемых является преобразованием длины N/2
(38)
Заметим, что последовательность (WN/2) nk периодична по k с периодом N/2. Поэтому, хотя номер k в выражении (37) принимает значения от 0 до N-1, каждая из сумм вычисляется для значений k от 0 до N/2-1. Можно оценить число комплексных операций умножения и сложения, необходимых для вычисления преобразования Фурье в соответствии с алгоритмом (37)-(38). Два N/2-точечных преобразования Фурье по формулам (38) предполагают выполнение 2(N/2) 2 умножений и приблизительно столько же сложений. Объединение двух N/2-точечных преобразований по формуле (37) требует еще N умножений и N сложений. Следовательно, для вычисления преобразования Фурье для всех N значений k необходимо произвести по N+N 2 /2 умножений и сложений. В то же время прямое вычисление по формуле (35) требует по N 2 умножений и сложений. Уже при N>2 выполняется неравенство N+N 2 /2 < N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:
,
(39)
(40)
При этом, вследствие периодичности последовательности
W nk N/4 по k с периодом N/4, суммы (40) необходимо
вычислять только для значений k от 0 до N/4-1. Поэтому расчет последовательности
X[k] по формулам (37), (39) и (40) требует, как нетрудно подсчитать, уже
по 2N+N 2 /4 операций умножения и сложения.
Следуя таким путем, объем вычислений X[k] можно все
более и более уменьшать. После m=log 2 N разложений приходим
к двухточечным преобразованиям Фурье вида
(41)
где "одноточечные преобразования" X 1 представляют собой просто отсчеты сигнала x[n]:
X 1
= x[q]/N, q=0,1,...,N-1.
(42)
В итоге можно записать алгоритм БПФ, получивший по понятным причинам название алгоритма с прореживанием по времени :
X 2 = (x[p] + W k 2 x) / N,
где k=0,1, p=0,1,...,N/2 -1;
X 2N/M =X N/M + W k 2N/M X N/M ,
где k=0,1,...,2N/M -1, p=0,1,...,M/2 -1;
X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2 , (43)
где k=0,1,...,N-1
На
каждом этапе вычислений производится по N комплексных умножений и сложений.
А так как число разложений исходной последовательности на подпоследовательности
половинной длины равно log 2 N, то полное число операций умножения-сложения
в алгоритме БПФ равно Nlog 2 N. При больших N имеет место существенная
экономия вычислительных операций по сравнению с прямым вычислением ДПФ.
Например, при N = 2 10 = 1024 число операций уменьшается в 117
раз.
Рассмотренный нами алгоритм БПФ с прореживанием по времени
основан на вычислении преобразования Фурье путем формирования подпоследовательностей
входной последовательности x[n]. Однако можно использовать также разложение
на подпоследовательности преобразования Фурье X[k]. Алгоритм БПФ, основанный
на этой процедуре, носит название алгоритма с прореживанием по частоте.
Подробнее о быстром преобразовании Фурье можно прочитать, например, в
.
Случайные процессы и спектральная плотность мощности
Дискретный
случайный процесс x можно рассматривать как некоторую совокупность,
или ансамбль, действительных или комплексных дискретных временных (или
пространственных) последовательностей, каждую из которых можно было бы
наблюдать как результат проведения некоторого эксперимента (n - временной
индекс, i - номер наблюдения). Последовательность, полученную в результате
одного из наблюдений будем обозначать x[n]. Операцию усреднения по ансамблю
(т.е. статистического усреднения
) будем обозначать посредством
оператора <>. Таким образом,
Случайный
процесс называется стационарным в широком смысле
, если его среднее
значение постоянно (не зависит от времени), а автокорреляция зависит только
от разности индексов времени m=n1-n2 (временного сдвига или задержки между
отсчетами). Таким образом, стационарный в широком смысле дискретный случайный
процесс x[n] характеризуется постоянным средним значением
r xx [m] = < xx*[n] >. (44)
Отметим следующие свойства АКП:
r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45)
которые
справедливы при всех m.
Спектральная плотность мощности (СПМ) определяется как
дискретно-временное преобразование Фурье (ДВПФ) автокорреляционной последовательности
.
(46)
СПМ, ширина которой полагается ограниченной значениями ±1/2T Гц, является периодической функцией частоты с периодом 1/T Гц. Функция СПМ описывает распределение мощности случайного процесса по частоте. Для подтверждения избранного для нее названия рассмотрим обратное ДВПФ
(47)
вычисляемое при m=0
(48)
Автокорреляция при нулевом сдвиге характеризует среднюю мощность случайного процесса. Согласно (48), площадь под кривой P xx (f) характеризует среднюю мощность, поэтому P xx (f) представляет собой функцию плотности (мощность на единицу измерения частоты), которая характеризует распределение мощности по частоте. Пару преобразований (46) и (47) часто называют теоремой Винера-Хинчина для случая дискретного времени. Поскольку r xx [-m]=r* xx [m], то СПМ должна быть строго действительной положительной функцией. Если АКП - строго действительная функция, то r xx [-m]=r xx [m] и СПМ можно записать в форме косинус-преобразования Фурье
,
что
означает также, что P xx (f) = P xx (-f), т.е. СПМ -
четная функция.
До сих пор мы при определении среднего значения, корреляции
и спектральной плотности мощности случайного процесса пользовались статистическим
усреднением по ансамблю. Однако на практике обычно не удается получить
ансамбль реализаций требуемого процесса, по которому можно было бы вычислить
эти статистические характеристики. Желательно оценивать все статистические
свойства по одной выборочной реализации x(t), заменяя усреднение по
ансамблю усреднением по времени
. Свойство, позволяющее такую замену
осуществить называется эргодичностью. Говорят, что случайный процесс эргодичен,
если с вероятностью, равной единице, все его статистические характеристики
можно предсказать по одной реализации из ансамбля с помощью усреднения
по времени. Иными словами, средние значения по времени почти всех возможных
реализаций процесса с вероятностью единица сходятся к одной и той же постоянной
величине - среднему значению по ансамблю
. (49)
Этот предел, если он существует, сходится к истинному среднему значению тогда и только тогда, когда дисперсия среднего по времени стремится к нулю, что означает выполнение следующего условия:
. (50)
Здесь c xx [m] - истинное значение ковариации
процесса x[n].
Аналогично, наблюдая значение произведения отсчетов процесса x[n] в два
момента времени, можно ожидать, что среднее значение будет равно
(51)
Допущение об эргодичности позволяет не только ввести через усреднение по времени определения для среднего значения и автокорреляции, но также дать подобное определение и для спектральной плотности мощности
. (52)
Эта эквивалентная форма СПМ получается посредством статистического усреднения модуля ДВПФ взвешенной совокупности данных, поделенного на длину записи данных, для случая, когда число отсчетов увеличивается до бесконечности. Статистическое усреднение необходимо здесь потому, что ДВПФ само является случайной величиной, изменяющейся для каждой реализации x[n]. Для того, чтобы показать, что (52) эквивалентно теореме Винера-Хинчина, представим квадрат модуля ДВПФ в виде произведения двух рядов и изменим порядок операций суммирования и статистического усреднения:
(53)
Используя известное выражение
, (54)
соотношение (53) можно свести к следующему:
(55)
Заметим, что на последнем этапе вывода (55) использовалось допущение о том, что автокорреляционная последовательность "затухает", так что
.
(56)
Взаимосвязь
двух определений СПМ (46) и (52) наглядно показывает диаграмма, представленная
на рисунке 4.
Если в выражении (52) не учитывать операцию математического
ожидания, то получим оценку СПМ
, (57)
которая называется выборочным спектром .
Рис. 4. Взаимосвязь двух способов оценивания спектральной плотности мощности
Периодограммный метод спектрального оценивания
Выше мы ввели два формальных эквивалентных метода определения спектральной плотности мощности (СПМ). Косвенный метод основан на использовании бесконечной последовательности данных для расчета автокорреляционной последовательности, преобразование Фурье которой дает искомую СПМ. Прямой метод определения СПМ основан на вычислении квадрата модуля преобразования Фурье для бесконечной последовательности данных с использованием соответствующего статистического усреднения. СПМ, полученная без такого усреднения оказывается неудовлетворительной, поскольку среднеквадратичная ошибка такой оценки сравнима с ее средним значением. Сейчас мы рассмотрим методы усреднения, обеспечивающие получение гладких и статистически устойчивых спектральных оценок по конечному числу отсчетов. Оценки СПМ, основанные на прямом преобразовании данных и последующем усреднении, получили название периодограмм. Оценки СПМ, для получения которых по исходным данным сначала формируются корреляционные оценки, получили название коррелограммных . При использовании любого метода оценивания СПМ пользователю приходится принимать множество компромиссных решений, с тем чтобы по конечному количеству отсчетов получать статистически устойчивые спектральные оценки с максимально возможным разрешением. К этим компромиссам относятся, в частности, выбор окна для взвешивания данных и корреляционных оценок и таких параметров усреднения во временной и в частотной областях, которые позволяют сбалансировать требования к снижению уровня боковых лепестков, обусловленных взвешиванием, выполнению эффективного усреднения и к обеспечению приемлемого спектрального разрешения. На рис. 5 приведена диаграмма, отображающая основные этапы периодограммного метода
Рис. 5. Основные
этапы оценивания СПМ с помощью периодограммного метода
Применение метода начинается со сбора N отсчетов данных, которые берутся с интервалом T секунд на отсчет с последующим (по желанию) этапом устранения тренда. Для того, чтобы получить статистически устойчивую спектральную оценку, имеющиеся данные необходимо разбить на перекрывающиеся (по возможности) сегменты и в последующем усреднить выборочные спектры, полученные по каждому такому сегменту. Параметры этого усреднения изменяются посредством соответствующего выбора числа отсчетов на сегмент (NSAMP) и числа отсчетов, на которое необходимо сдвинуть начало следующего сегмента (NSHIFT), см. рис. 6. Количество сегментов выбирается в зависимости от требуемой степени гладкости (дисперсии) спектральной оценки и требуемого спектрального разрешения. При малом значении параметра NSAMP получается больше сегментов, по которым будет производиться усреднение, а следовательно будут получаться оценки с меньшей дисперсией, но также и меньшим частотным разрешением. Увеличение длины сегмента (параметра NSAMP) повышает разрешение, естественно за счет увеличения дисперсии оценки из-за меньшего числа усреднений. Стрелка возврата на рис.5 указывает на необходимость нескольких повторных проходов по данным при различных длинах и количествах сегментов, что позволяет получить больше информации об исследуемом процессе.
Рис.6. Разбиение данных на сегменты для вычисления периодограммы
Окна
Один из важных вопросов, который является общим для всех классических методов спектрального оценивания, связан с взвешиванием данных. Обработка с помощью окна используется для управления эффектами, обусловленными наличием боковых лепестков в спектральных оценках. Заметим, что имеющуюся конечную запись данных удобно рассматривать как некоторую часть соответствующей бесконечной последовательности, видимую через применяемое окно. Так последовательность наблюдаемых данных x 0 [n] из N отсчетов математически можно записать как произведение бесконечной последовательности x[n] и функции прямоугольного окна
X 0 [n]=x[n]·rect[n].
При этом принимается очевидное допущение о том, что
все ненаблюдаемые отсчеты равны нулю независимо от того, так ли это на
самом деле. Дискретно-временное преобразование Фурье взвешенной последовательности
равно свертке преобразований последовательности x[n] и прямоугольного
окна rect[n]
X 0 (f)=X(f)*D N (f)
, где
D N (f)= Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).
Функция D N (f), называемая дискретной функцией sinc, или ядром Дирихле, представляет собой ДВПФ прямоугольной функции. Преобразование наблюдаемой конечной последовательности является искаженной версией преобразования бесконечной последовательности. Влияние прямоугольного окна на дискретно-временную синусоиду с частотой f 0 иллюстрирует рис.7.
Рис.7. Иллюстрация смещения дискретно-временного преобразования Фурье вследствие просачивания из-за взвешивания данных.: а,в - исходная и взвешенная последовательности; б, г - их преобразования Фурье.
Из
рисунка видно, что острые спектральные пики ДВПФ бесконечной синусоидальной
последовательности расширились за счет свертки с преобразованием окна.
Таким образом, минимальная ширина спектральных пиков взвешенной окном
последовательности определяется шириной главного лепестка преобразования
этого окна и не зависит от данных. Боковые лепестки преобразования окна
будут изменять амплитуды соседних спектральных пиков (иногда это явление
называют просачиванием). Поскольку ДВПФ - периодическая функция, то наложение
боковых лепестков от соседних периодов может привести к дополнительному
смещению. Увеличение частоты отсчетов позволяет ослабить эффект наложения
боковых лепестков. Аналогичные искажения будут, естественно, наблюдаться
и в случае несинусоидальных сигналов. Просачивание приводит не только
к появлению амплитудных ошибок в спектрах дискретных сигналов, но может
также маскировать присутствие слабых сигналов. Можно предложить ряд других
функций окна, применение которых позволяет снизить уровень боковых лепестков
по сравнению с тем, который имеется при использовании прямоугольного окна.
Снижение уровня боковых лепестков будет уменьшать смещение спектральной
оценки, однако это дается ценой расширения главного лепестка спектра окна,
что, естественно, приводит к ухудшению разрешения. Следовательно и здесь
должен выбираться какой-то компромисс между шириной главного лепестка
и уровнем боковых лепестков. Для оценки качества окон используется несколько
параметров. Традиционным показателем является ширина полосы главного лепестка
на уровне половинной мощности. В качестве второго показателя используется
эквивалентная ширина полосы, введенная выше. Два показателя используются
и для оценки характеристик боковых лепестков. Первый - их максимальный
уровень, второй - скорость спадания, характеризующая быстроту уменьшения
боковых лепестков по мере удаления от главного лепестка. В таблице 3 приведены
определения некоторых общеупотребительных дискретно-временных функций
окна, а в таблице 4 - их характеристики.
Таблица 3. Определения типичных N-точечных дискретно-временных оконМакс.
уровень боковых лепестков, дБ
-31.5
. (46)
Коррелограммный метод оценивания СПМ - это просто подстановка в выражение (46) конечной последовательности значений оценки автокорреляции (коррелограммы ) вместо бесконечной последовательности неизвестных истинных значений автокорреляции. Подробнее о коррелограммном методе спектрального оценивания можно прочитать в .
Л и т е р а т у р а
1.
Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов.
М.:Мир, 1978.
2.
Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ.
-М.: Мир, 1990.
3.
Гольдберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н., Цифровая обработка сигналов.-
М.: Радио и связь, 1990.
4. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов.- М.: Мир, 1982.
Преобразование Фурье – это семейство математических методов, основанных на разложении исходной непрерывной функции от времени на совокупность базисных гармонических функций (в качестве которых выступают синусоидальные функции) различной частоты, амплитуды и фазы. Из определения видно, что основная идея преобразования заключается в том, что любую функцию можно представить в виде бесконечной суммы синусоид, каждая из которых будет характеризоваться своей амплитудой, частотой и начальной фазой.
Преобразование Фурье является основоположником спектрального анализа. Спектральный анализ – это способ обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала. В зависимости от того, каким образом представлен сигнал, используют разные преобразования Фурье. Различают несколько видов преобразования Фурье:
– Непрерывное преобразование Фурье (в англоязычной литературе Continue Time Fourier Transform – CTFT или, сокращенно, FT );
– Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе Discrete Fourier Transform – DFT );
– Быстрое преобразование Фурье (в англоязычной литературе Fast Fourier transform – FFT ).
Непрерывное преобразование Фурье
Преобразование Фурье является математическим инструментом, применяемым в различных научных областях. В некоторых случаях его можно использовать как средство решения сложных уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают под воздействием электрической, тепловой или световой энергии. В других случаях оно позволяет выделять регулярные составляющие в сложном колебательном сигнале, благодаря чему можно правильно интерпретировать экспериментальные наблюдения в астрономии, медицине и химии. Непрерывное преобразование фактически является обобщением рядов Фурье при условии, что период разлагаемой функции устремить к бесконечности. Таким образом, классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной.
Существует несколько видов записи непрерывного преобразования Фурье, отличающихся друг от друга значением коэффициента перед интегралом (две формы записи):
или 
где и - Фурье-образ функцииили частотный спектр функции ;
- круговая частота.
Следует отметить, что разные виды записи встречаются в различных областях науки и техники. Нормировочный коэффициент необходим для корректного масштабирования сигнала из частотной области во временную. Нормировочный коэффициент уменьшает амплитуду сигнала на выходе обратного преобразования для того чтобы она совпадала с амплитудой исходного сигнала. В математической литературе прямое и обратное преобразование Фурье умножаются на множитель , в то время как в физике чаще всего при прямом преобразовании множитель не ставят, а при обратном ставят множитель . Если последовательно рассчитать прямое преобразование Фурье некоторого сигнала, а после взять обратное преобразование Фурье, то результат обратного преобразования должен полностью совпадать с исходным сигналом.
Если функция нечетная на интервале (−∞, +∞), то преобразование Фурье может быть представлено через синус-функцию:
Если функция четная на интервале (−∞, +∞), то преобразование Фурье может быть представлено через косинус-функцию:
Таким образом, непрерывное преобразование Фурье позволяет представить непериодическую функцию в виде интеграла функции, представляющей в каждой своей точке коэффициент ряда Фурье для непериодической функции.
Преобразование Фурье является обратимым, то есть если по функции был рассчитан ее Фурье-образ , то по Фурье-образу можно однозначно восстановить исходную функцию . Под обратным преобразованием Фурье понимают интеграл вида (две формы записи):
или 
где - Фурье-образ функцииили частотный спектр функции ;
- круговая частота.
Если функция нечетная на интервале (−∞, +∞), то обратное преобразование Фурье может быть представлено через синус-функцию:
Если функция четная на интервале (−∞, +∞), то обратное преобразование Фурье может быть представлено через косинус-функцию:
В качестве примера, рассмотрим следующую функцию 
. График исследуемой экспоненциальной функции представлен ниже.
Поскольку функция является четной функцией, то непрерывное преобразование Фурье будет определяться следующим образом:
В результате получили зависимость изменения исследуемой экспоненциальной функции на частотном интервале (см. ниже).
Непрерывное преобразование Фурье используют, как правило, в теории при рассмотрении сигналов, которые изменяются в соответствии с заданными функциями, но на практике обычно имеют дело с результатами измерений, которые представляют собой дискретные данные. Результаты измерений фиксируются через равные промежутки времени с определённой частотой дискретизации, например, 16000 Гц или 22000 Гц. Однако в общем случае дискретные отсчёты могут идти неравномерно, но это усложняет математический аппарат анализа, поэтому на практике обычно не применяется.
Существует важная теорема Котельникова (в иностранной литературе встречается название «теорема Найквиста-Шеннона», «теорема отсчетов»), которая гласит, что аналоговый периодический сигнал, имеющий конечный (ограниченный по ширине) спектр (0…fmax), может быть однозначно восстановлен без искажений и потерь по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой, большей или равной удвоенной верхней частоте спектра - частота дискретизации (fдискр >= 2*fmax). Другими словами, при частоте дискретизации 1000 Гц из аналогового периодического сигнала можно восстановить сигнал с частотой до 500 Гц. Следует отметить, что дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а дискретизация спектра по частоте приводит к периодизации функции.
Это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов.
Прямое дискретное преобразование Фурье ставит в соответствие временной функции , которая определена N-точками измерений на заданном временном интервале, другую функцию , которая определена на частотном интервале. Следует отметить, что функция на временном интервале задается с помощью N-отсчетов, а функция на частотном интервале задается с помощью K-кратного спектра.
k ˗ индекс частоты.
Частота k-го сигнала определяется по выражению
где T - период времени, в течение которого брались входные данные.
Прямое дискретное преобразование может быть переписано через вещественную и мнимую составляющие. Вещественная составляющая представляет собой массив, содержащий значения косинусоидальных составляющих, а мнимая составляющая представляет собой массив, содержащий значения синусоидальных составляющих.
Из последних выражений видно, что преобразование раскладывает сигнал на синусоидальные составляющие (которые называются гармониками) с частотами от одного колебания за период до N колебаний за период.
Дискретное преобразование Фурье имеет особенность, так как дискретная последовательность может быть получена суммой функций с различным составом гармонического сигнала. Другими словами, дискретная последовательность раскладывается на гармонические переменные – неоднозначно. Поэтому при разложении дискретной функции с помощью дискретного преобразования Фурье во второй половине спектра возникают высокочастотные составляющие, которых не было в оригинальном сигнале. Данный высокочастотный спектр является зеркальным отображением первой части спектра (в части частоты, фазы и амплитуды). Обычно вторая половина спектра не рассматривается, а амплитуды сигнала первой части спектра - удваиваются.
Следует отметить, что разложение непрерывной функции не приводит к появлению зеркального эффекта, так как непрерывная функция однозначно раскладывается на гармонические переменные.
Амплитуда постоянной составляющей является средним значением функции за выбранный промежуток времени и определяется следующим образом:
Амплитуды и фазы частотных составляющих сигнала определяются по следующим соотношениям:
Полученные значения амплитуды и фазы называют полярным представлением (polar notation). Результирующий вектор сигнала будет определяться следующим образом:
Рассмотрим алгоритм преобразования дискретно заданной функции на заданном интервале (на заданном периоде) с количеством исходных точек
Д искретное преобразование Фурье
В результате преобразования получаем вещественное и мнимое значение функции , которая определена на частотном диапазоне.
Обратное дискретное преобразование Фурье ставит в соответствие частотной функции , которая определена K-кратным спектром на частотном интервале, другую функцию , которая определена на временном интервале.
N ˗ количество значений сигнала, измеренных за период, а также кратность частотного спектра;
k ˗ индекс частоты.
Как уже было сказано, дискретное преобразование Фурье N-точкам дискретного сигнала ставит в соответствие N-комплексных спектральных отсчетов сигнала . Для вычисления одного спектрального отсчета требуется N операций комплексного умножения и сложения. Таким образом, вычислительная сложность алгоритма дискретного преобразования Фурье является квадратичной, другими словами требуется операций комплексного умножения и сложения.
Метод анализа был основан на так называемых рядах Фурье. Ряд начинается с разложения сложной формы на простые. Фурье показал, что сложная форма волны может быть представлена как сумма простых волн. Как правило, уравнения, описывающие классические системы, легко решаются для каждой из этих простых волн. Далее Фурье показал, как эти простые решения можно суммировать, чтобы получить решение всей сложной задачи в целом. (Говоря языком математики, ряд Фурье - это метод представления функции суммой гармоник - синусоид и косинусоид, поэтому анализ Фурье был известен также под названием «гармонический анализ».)
Согласно
гипотезе Фурье не существует функции,
которую нельзя было бы разложить в
тригонометрический ряд. Рассмотрим,
каким образом можно провести данное
разложение. Рассмотрим следующую систему
ортонормированных функций на отрезка
[–π, π]: {1,
cos(t),
sin(t),
cos(2t),
sin(2t),
cos(3t),
sin(3t),
…,
cos(nt),
sin(nt),…
}.
Руководствуясь тем, что данная система функций является ортонормированной, функцию f(t) на отрезке [π, –π] можно аппроксимировать следующим образом:
f(t) = α0 + α1
cos(t)
+ α2
cos(2t)
+
α3
cos(3t) + …
... + β1
sin(t)
+ β2
sin(2t)
+ β3
sin(3t)+…
(6)
Коэффициенты α n , β n вычисляются через скалярное произведение функции и базисной функции по формулам, рассмотренным ранее, и выражаются следующим образом:
α 0 = 
,
α n = 
,
β n = 
.
Выражение (6) можно записать в сжатом виде следующим образом:
f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(t) + a 2 cos(2t) + a 3 cos(3t) + …
B 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t)+… (7)
a 0
= 2α 0 =
,
а n =
α n =
,
(8)
b n=
β n
=
.
(9)
Так как при n = 0 cos(0) = 1, константа a 0 /2 выражает общий вид коэффициента a n при n = 0.
Коэффициенты a n и b n называют коэффициентами Фурье, а представление функции f(t) по формуле (7) – разложением в ряд Фурье. Иногда разложение в ряд Фурье, представленное в таком виде, называют действительным разложением в ряд Фурье, а коэффициенты – действительными коэффициентами Фурье. Термин «действительный» вводится для, того чтобы отличить данное разложение от комплексного разложения.
Проанализируем выражения (8) и (9). Коэффициентa 0 представляет собой среднее значение функцииf(t) на отрезке [–π,π] или постоянную составляющую сигналаf(t). Коэффициентыa n иb n (приn> 0) – это амплитуды косинусных и синусных составляющих функции (сигнала)f(t) с угловой частотой равнойn. Другими словами, данные коэффициенты задают величину частотных составляющих сигналов. Например, когда мы говорим о звуковом сигнале с низкими частотами (например, звуки бас-гитары), это означает, что коэффициентыa n иb n больше при меньших значенияхnи наоборот – в высокочастотных звуковых колебаниях (например, звук скрипки) больше при больших значенияхn.
Колебание самого большого периода (или самой низкой частоты), представленное суммой a 1 cos(t) и b 1 sin(t) называют колебанием основной частоты или первой гармоникой. Колебание с периодом равным половине периода основной частоты – второй гармоникой, колебание с периодом равным 1/n основной частоты – n-гаромоникой. Таким образом, с помощью разложения Функции f(t) в ряд Фурье, мы можем осуществить переход из временной области в частотную. Такой переход обычно необходим для выявления особенностей сигнала, которые «незаметны» во временной области.
Обратим внимание, что формулы (8) и (9) применимы для периодического сигнала с периодом равным 2π. В общем случае в ряд Фурье можно разложить периодический сигнал с периодом T, тогда при разложении используется отрезок [–T/2, T/2]. Период первой гармоники равен T и составляющие примут вид cos(2πt/T) и sin(2πt/T), составляющие n-гармоники – cos(2πtn/T) и sin(2πtn/T).
Функцию f(t) на отрезке [–T/2,T/2] можно аппроксимировать следующим образом:
f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(2πt/T) + a 2 cos(4πt/T) + a 3 cos(6πt/T) + …
B 1 sin(2πt/T) + b 2 sin(4πt/T) + b 3 sin(6πt/T)+…, (10)
a n =
,
b n= 
.
Если обозначить угловую частоту первой гармоники ω 0 = 2π/T, тогда составляющие n-гармоники принимают вид cos(ω 0 nt), sin(ω 0 nt) и
f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(ω 0 t) + a 2 cos(2ω 0 t) + a 3 cos(3ω 0 t) + …
B 1 sin(ω 0 t) + b 2 sin(2ω 0 t) + b 3 sin(3ω 0 t)+…=
=
,
(11)
где коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:
a n =
,
b n =
.
1. Преобразование Фурье и спектр сигнала
Во многих случаях задача получения (вычисления) спектра сигнала выглядит следующим образом. Имеется АЦП, который с частотой дискретизации Fd преобразует непрерывный сигнал, поступающий на его вход в течение времени Т, в цифровые отсчеты - N штук. Далее массив отсчетов подается в некую программку, которая выдает N/2 каких-то числовых значений (программист, который утянул из инета написал программку, уверяет, что она делает преобразование Фурье).Чтобы проверить, правильно ли работает программа, сформируем массив отсчетов как сумму двух синусоид sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) и подсунем программке. Программа нарисовала следующее:
рис.1 График временной функции сигнала
рис.2 График спектра сигнала
На графике спектра имеется две палки (гармоники) 5 Гц с амплитудой 0.5 В и 10 Гц - с амплитудой 1 В, все как в формуле исходного сигнала. Все отлично, программист молодец! Программа работает правильно.
Это значит, что если мы подадим на вход АЦП реальный сигнал из смеси двух синусоид, то мы получим аналогичный спектр, состоящий из двух гармоник.
Итого, наш реальный
измеренный сигнал, длительностью 5 сек
, оцифрованный АЦП, то есть представленный дискретными
отсчетами, имеет дискретный непериодический
спектр.
С математической точки зрения - сколько ошибок в этой фразе?
Теперь начальство решило мы решили, что 5 секунд - это слишком долго, давай измерять сигнал за 0.5 сек.
рис.3 График функции sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) на периоде измерения 0.5 сек
рис.4 Спектр функции
Что-то как бы не то! Гармоника 10 Гц рисуется нормально, а вместо палки на 5 Гц появилось несколько каких-то непонятных гармоник. Смотрим в интернетах, что да как…
Во, говорят, что в конец выборки надо добавить нули и спектр будет рисоваться нормальный.
рис.5 Добили нулей до 5 сек
рис.6 Получили спектр
Все равно не то, что было на 5 секундах. Придется разбираться с теорией. Идем в Википедию - источник знаний.
2. Непрерывная функция и представление её рядом Фурье
Математически наш сигнал длительностью T секунд является некоторой функцией f(x), заданной на отрезке {0, T} (X в данном случае - время). Такую функцию всегда можно представить в виде суммы гармонических функций (синусоид или косинусоид) вида:
(1), где:
K - номер тригонометрической функции (номер гармонической составляющей, номер гармоники)
T - отрезок, где функция определена (длительность сигнала)
Ak - амплитуда k-ой гармонической составляющей,
?k- начальная фаза k-ой гармонической составляющей
Что значит «представить функцию в виде суммы ряда»? Это значит, что, сложив в каждой точке значения гармонических составляющих ряда Фурье, мы получим значение нашей функции в этой точке.
(Более строго, среднеквадратичное отклонение ряда от функции f(x) будет стремиться к нулю, но несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно. См. https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Фурье .)
Этот ряд может быть также записан в виде:
(2),
где , k-я комплексная амплитуда.
Связь между коэффициентами (1) и (3) выражается следующими формулами:
Отметим, что все эти три представления ряда Фурье совершенно равнозначны. Иногда при работе с рядами Фурье бывает удобнее использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента, то есть использовать преобразование Фурье в комплексной форме. Но нам удобно использовать формулу (1), где ряд Фурье представлен в виде суммы косинусоид с соответствующими амплитудами и фазами. В любом случае неправильно говорить, что результатом преобразования Фурье действительного сигнала будут комплексные амплитуды гармоник. Как правильно говорится в Вики «Преобразование Фурье (?) - операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, также вещественной переменной.»
Итого:
Математической основой спектрального анализа сигналов является преобразование Фурье.
Преобразование Фурье позволяет представить непрерывную функцию f(x) (сигнал), определенную на отрезке {0, T} в виде суммы бесконечного числа (бесконечного ряда) тригонометрических функций (синусоид и\или косинусоид) с определёнными амплитудами и фазами, также рассматриваемых на отрезке {0, T}. Такой ряд называется рядом Фурье.
Отметим еще некоторые моменты, понимание которых требуется для правильного применения преобразования Фурье к анализу сигналов. Если рассмотреть ряд Фурье (сумму синусоид) на всей оси Х, то можно увидеть, что вне отрезка {0, T} функция представленная рядом Фурье будет будет периодически повторять нашу функцию.
Например, на графике рис.7 исходная функция определена на отрезке {-T\2, +T\2}, а ряд Фурье представляет периодическую функцию, определенную на всей оси х.
Это происходит потому, что синусоиды сами являются периодическими функциями, соответственно и их сумма будет периодической функцией.
рис.7 Представление непериодической исходной функции рядом Фурье
Таким образом:
Наша исходная функция - непрерывная, непериодическая, определена на некотором отрезке длиной T.
Спектр этой функции - дискретный, то есть представлен в виде бесконечного ряда гармонических составляющих - ряда Фурье.
По факту, рядом Фурье определяется некоторая периодическая функция, совпадающая с нашей на отрезке {0, T}, но для нас эта периодичность не существенна.
Периоды гармонических составляющих кратны величине отрезка {0, T}, на котором определена исходная функция f(x). Другими словами, периоды гармоник кратны длительности измерения сигнала. Например, период первой гармоники ряда Фурье равен интервалу Т, на котором определена функция f(x). Период второй гармоники ряда Фурье равен интервалу Т/2. И так далее (см. рис. 8).
рис.8 Периоды (частоты) гармонических составляющих ряда Фурье (здесь Т=2?)
Соответственно, частоты гармонических составляющих кратны величине 1/Т. То есть частоты гармонических составляющих Fk равны Fk= к\Т, где к пробегает значения от 0 до?, например к=0 F0=0; к=1 F1=1\T; к=2 F2=2\T; к=3 F3=3\T;… Fk= к\Т (при нулевой частоте - постоянная составляющая).
Пусть наша исходная функция, представляет собой сигнал, записанный в течение Т=1 сек. Тогда период первой гармоники будет равен длительности нашего сигнала Т1=Т=1 сек и частота гармоники равна 1 Гц. Период второй гармоники будет равен длительности сигнала, деленной на 2 (Т2=Т/2=0,5 сек) и частота равна 2 Гц. Для третьей гармоники Т3=Т/3 сек и частота равна 3 Гц. И так далее.
Шаг между гармониками в этом случае равен 1 Гц.
Таким образом сигнал длительностью 1 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 1 Гц.
Чтобы увеличить разрешение в 2 раза до 0,5 Гц - надо увеличить длительность измерения в 2 раза - до 2 сек. Сигнал длительностью 10 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 0,1 Гц. Других способов увеличить разрешение по частоте нет.
Существует способ искусственного увеличения длительности сигнала путем добавления нулей к массиву отсчетов. Но реальную разрешающую способность по частоте он не увеличивает.
3. Дискретные сигналы и дискретное преобразование Фурье
С развитием цифровой техники изменились и способы хранения данных измерений (сигналов). Если раньше сигнал мог записываться на магнитофон и храниться на ленте в аналоговом виде, то сейчас сигналы оцифровываются и хранятся в файлах в памяти компьютера в виде набора чисел (отсчетов).Обычная схема измерения и оцифровки сигнала выглядит следующим образом.
рис.9 Схема измерительного канала
Сигнал с измерительного преобразователя поступает на АЦП в течение периода времени Т. Полученные за время Т отсчеты сигнала (выборка) передаются в компьютер и сохраняются в памяти.
рис.10 Оцифрованный сигнал - N отсчетов полученных за время Т
Какие требования выдвигаются к параметрам оцифровки сигнала? Устройство, преобразующее входной аналоговый сигнал в дискретный код (цифровой сигнал) называется аналого-цифровой преобразователь (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).
Одним из основных параметров АЦП является максимальная частота дискретизации (или частота семплирования, англ. sample rate) - частота взятия отсчетов непрерывного во времени сигнала при его дискретизации. Измеряется в герцах. ((Wiki))
Согласно теореме Котельникова, если непрерывный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой Fмакс, то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени 
, т.е. с частотой Fd ? 2*Fмакс, где Fd - частота дискретизации; Fмакс - максимальная частота спектра сигнала. Другими слова частота оцифровки сигнала (частота дискретизации АЦП) должна как минимум в 2 раза превышать максимальную частоту сигнала, который мы хотим измерить.
А что будет, если мы будем брать отсчеты с меньшей частотой, чем требуется по теореме Котельникова?
В этом случае возникает эффект «алиасинга» (он же стробоскопический эффект, муаровый эффект), при котором сигнал высокой частоты после оцифровки превращается в сигнал низкой частоты, которого на самом деле не существует. На рис. 5 красная синусоида высокой частоты - это реальный сигнал. Синяя синусоида более низкой частоты - фиктивный сигнал, возникающий вследствие того, за время взятия отсчета успевает пройти больше, чем пол-периода высокочастотного сигнала.
Рис. 11. Появление ложного сигнала низкой частоты при недостаточно высокой частоте дискретизации
Чтобы избежать эффекта алиасинга перед АЦП ставят специальный антиалиасинговый фильтр - ФНЧ (фильтр нижних частот), который пропускает частоты ниже половины частоты дискретизации АЦП, а более высокие частоты зарезает.
Для того, чтобы вычислить спектр сигнала по его дискретным отсчетам используется дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Отметим еще раз, что спектр дискретного сигнала «по определению» ограничен частотой Fмакс, меньшей половине частоты дискретизации Fd. Поэтому спектр дискретного сигнала может быть представлен суммой конечного числа гармоник, в отличие от бесконечной суммы для ряда Фурье непрерывного сигнала, спектр которого может быть неограничен. Согласно теореме Котельникова максимальная частота гармоники должна быть такой, чтобы на нее приходилось как минимум два отсчета, поэтому число гармоник равно половине числа отсчетов дискретного сигнала. То есть если в выборке имется N отсчетов, то число гармоник в спектре будет равно N/2.
Рассмотрим теперь дискретное преобразование Фурье (ДПФ).
Сравнивая с рядом Фурье
Видим, что они совпадают, за исключением того, что время в ДПФ имеет дискретный характер и число гармоник ограничено величиной N/2 - половиной числа отсчетов.
Формулы ДПФ записываются в безразмерных целых переменных k, s, где k – номера отсчетов сигнала, s – номера спектральных составляющих.
Величина s показывает количество полных колебаний гармоники на периоде Т (длительности измерения сигнала). Дискретное преобразование Фурье используется для нахождения амплитуд и фаз гармоник численным методом, т.е. «на компьютере»
Возвращаясь к результатам, полученным в начале. Как уже было сказано выше, при разложении в ряд Фурье непериодической функции (нашего сигнала), полученный ряд Фурье фактически соответствует периодической функции с периодом Т. (рис.12).
рис.12 Периодическая функция f(x) с периодом Т0, с периодом измерения Т>T0
Как видно на рис.12 функция f(x) периодическая с периодом Т0. Однако из-за того, что длительность измерительной выборки Т не совпадает с периодом функции Т0, функция, получаемая как ряд Фурье, имеет разрыв в точке Т. В результате спектр данной функции будет содержать большое количество высокочастотных гармоник. Если бы длительность измерительной выборки Т совпадала с периодом функции Т0, то в полученном после преобразования Фурье спектре присутствовала бы только первая гармоника (синусоида с периодом равным длительности выборки), поскольку функция f(x) представляет собой синусоиду.
Другими словами, программа ДПФ «не знает», что наш сигнал представляет собой «кусок синусоиды», а пытается представить в виде ряда периодическую функцию, которая имеет разрыв из-за нестыковки отдельных кусков синусоиды.
В результате в спектре появляются гармоники, которые должны в сумме изобразить форму функции, включая этот разрыв.
Таким образом, чтобы получить «правильный» спектр сигнала, являющегося суммой нескольких синусоид с разными периодами, необходимо чтобы на периоде измерения сигнала укладывалось целое число периодов каждой синусоиды. На практике это условие можно выполнить при достаточно большой длительности измерения сигнала.
Рис.13 Пример функции и спектра сигнала кинематической погрешности редуктора
При меньшей длительности картина будет выглядеть «хуже»:
Рис.14 Пример функции и спектра сигнала вибрации ротора
На практике бывает сложно понять, где «реальные составляющие», а где «артефакты», вызванные некратностью периодов составляющих и длительности выборки сигнала или «скачками и разрывами» формы сигнала. Конечно слова «реальные составляющие» и «артефакты» не зря взяты в кавычки. Наличие на графике спектра множества гармоник не означает, что наш сигнал в реальности из них «состоит». Это все равно что считать, будто число 7 «состоит» из чисел 3 и 4. Число 7 можно представить в виде суммы чисел 3 и 4 - это правильно.
Так и наш сигнал… а вернее даже не «наш сигнал», а периодическую функцию, составленную путем повторения нашего сигнала (выборки) можно представить в виде суммы гармоник (синусоид) с определенными амплитудами и фазами. Но во многих важных для практики случаях (см. рисунки выше) действительно можно связать полученные в спектре гармоники и с реальными процессами, имеющими циклический характер и вносящими значительный вклад в форму сигнала.
Некоторые итоги
1. Реальный измеренный сигнал, длительностью T сек, оцифрованный АЦП, то есть представленный набором дискретных отсчетов (N штук), имеет дискретный непериодический спектр, представленный набором гармоник (N/2 штук).2. Сигнал представлен набором действительных значений и его спектр представлен набором действительных значений. Частоты гармоник положительны. То, что математикам бывает удобнее представить спектр в комплексной форме с использованием отрицательных частот не значит, что «так правильно» и «так всегда надо делать».
3. Сигнал, измеренный на отрезке времени Т определен только на отрезке времени Т. Что было до того, как мы начали измерять сигнал, и что будет после того - науке это неизвестно. И в нашем случае - неинтересно. ДПФ ограниченного во времени сигнала дает его «настоящий» спектр, в том смысле, что при определенных условиях позволяет вычислить амплитуду и частоту его составляющих.
Использованные материалы и другие полезные материалы.
Любая волна сложной формы может быть представлена как сумма простых волн.
Жозеф Фурье очень хотел описать в математических терминах, как тепло проходит сквозь твердые предметы (см. Теплообмен). Возможно, его интерес к теплу вспыхнул, когда он находился в Северной Африке: Фурье сопровождал Наполеона во французской экспедиции в Египет и прожил там некоторое время. Чтобы достичь своей цели, Фурье должен был разработать новые математические методы. Результаты его исследований были опубликованы в 1822 году в работе «Аналитическая теория тепла» (Theorie analytique de la chaleur ), где он рассказал, как анализировать сложные физические проблемы путем разложения их на ряд более простых.
Метод анализа был основан на так называемых рядах Фурье . В соответствии с принципом интерференции ряд начинается с разложения сложной формы на простые — например, изменение земной поверхности объясняется землетрясением, изменения орбиты кометы — влиянием притяжения нескольких планет, изменение потока тепла — его прохождением сквозь препятствие неправильной формы из теплоизолирующего материала. Фурье показал, что сложная форма волны может быть представлена как сумма простых волн. Как правило, уравнения, описывающие классические системы, легко решаются для каждой из этих простых волн. Далее Фурье показал, как эти простые решения можно суммировать, чтобы получить решение всей сложной задачи в целом. (Говоря языком математики, ряд Фурье — это метод представления функции суммой гармоник — синусоид и косинусоид, поэтому анализ Фурье был известен также под названием «гармонический анализ».)
До появления компьютеров в середине ХХ столетия методы Фурье и им подобные были лучшим оружием в научном арсенале при наступлениях на сложности природы. Со времени появления комплексных методов Фурье ученые смогли использовать их для решения уже не только простых задач, которые можно решить прямым применением законов механики Ньютона и других фундаментальных уравнений. Многие великие достижения ньютоновской науки в XIX веке фактически были бы невозможны без использования методов, впервые предложенных Фурье. В дальнейшем эти методы применялись в решении задач в различных областях — от астрономии до машиностроения.
Жан-Батист Жозеф ФУРЬЕ
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830
Французский математик. Родился в Осере; в возрасте девяти лет остался сиротой. Уже в юном возрасте проявил способности к математике. Фурье получил образование в церковной школе и военном училище, затем работал преподавателем математики. На протяжении всей жизни активно занимался политикой; был арестован в 1794 году за защиту жертв террора. После смерти Робеспьера был выпущен из тюрьмы; принимал участие в создании знаменитой Политехнической школы (Ecole Polytechnique) в Париже; его положение послужило ему плацдармом для продвижения при режиме Наполеона. Сопровождал Наполеона в Египет, был назначен губернатором Нижнего Египта. По возвращении во Францию в 1801 году был назначен губернатором одной из провинций. В 1822 году стал постоянным секретарем Французской академии наук — влиятельная должность в научном мире Франции.