Спектральное представление детерминированных сигналов. Расчет частичных сумм и спектральных характеристик ряда фурье для явной функции Представление периодических сигналов рядом фурье

Формы записи ряда Фурье. Сигнал называется пери­одическим, если его форма циклически повторяется во времени Периодический сигнал u(t) в общем виде записывается так:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Здесь Т-период сигнала. Периодические сигналы могут быть как простыми, так и сложными.

Для математического представления периодических сигналоа с периодом Т часто пользуются рядом (2.2), в котором как ба­зисные функции выбираются гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) колебания кратных частот

y 0 (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t)=cosw 1 t;

y 3 (t)=sin2w 1 t; y 4 (t)=cos2w 1 t; …,(2.3)

где w 1 =2p/T- основная угловая частота последовательности

функций. При гармонических базисных функциях из ряда (2.2) получаем ряд Фурье (Жан Фурье - французский математик и фи­зик XIX века).

Гармонические функции вида (2.3) в ряде Фурье имеют сле­дующие преимущества: 1) простое математическое описание; 2) инвариантность к линейным преобразованиям, т. е. если на входе линейной цепи действует гармоническое колебание, то и на выходе ее также будет гармоническое колебание, отличающееся от входного только амплитудой и начальной фазой; 3) как и сиг­нал, гармонические функции периодические и имеют бесконечную длительность; 4) техника генерирования гармонических функций достаточно проста.

Из курса математики известно, что для разложения периоди­ческого сигнала в ряд по гармоническим функциям (2.3) необхо­димо выполнение условий Дирихле. Но все реальные периодичес­кие сигналы этим условиям удовлетворяют и их можно предста­вить в виде ряда Фурье, который может быть записан в одной из следующих форм:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

где коэффициенты

A mn ”= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

A mn = (2.7)

или в комплексной форме

u(t)= (2.8)

C n = (2.9)

Из (2.4) - (2.9) следует, что в общем случае периодический сигнал u(t) содержит постоянную составляющую A 0 /2и набор гармонических колебаний основной частоты w 1 =2pf 1 и ее гармоник с частотами w n =nw 1 , n=2,3,4,… Каждое из гармонических

колебаний ряда Фурье характеризуется амплитудойи начальной фазой y n .nn

Спектральная диаграмма и спектр периодиче­ского сигнала. Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, то гово­рят, что осуществлено спектральное разложение сигнала.

Спектральной диаграммой сигнала принято называть графиче­ское изображение коэффициентов ряда Фурье этого сигнала. Раз­личают амплитудные и фазовые диаграммы. На рис. 2.6 в неко­тором масштабе по горизонтальной оси отложены значения час­тот гармоник, по зертикальной оси - их амплитуды A mn и фазы y n . Причем амплитуды гармоник могут принимать только поло­жительные значения, фазы - как положительные, так и отрица­тельные значения в интервале -p£y n £p

Спектр сигнала - это совокупность гармонических составляю­щих с конкретными значениями частот, амплитуд и начальных фаз, образующих в сумме сигнал. В технических приложениях на практике спектральные диаграммы называют более кратко - ам­плитудный спектр, фазовый спектр. Чаще всего интересуются ам­плитудной спектральной диаграммой. По ней можно оценить про­центное содержание гармоник в спектре.

Пример 2.3. Разложить в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами (U m , T, t z), четную "Относительно точки t=0. Построить спектральную диаграмму амплитуд и фаз при U m =2B, T=20мс, S=T/t и =2 и 8.

Заданный периодический сигнал на интервале одного периода можно запи­сать как

Воспользуемся для представления этого сигнала формой записи ряда Фурье в виде (2.4). Так как сигнал четный, то в разложении останутся только косинусоидальные составляющие.

Рис. 2.6. Спектральные диаграммы периодического сигнала:

а - амплитудная; б - фазoвая

Интеграл от нечетной функции за период равеy нулю. По формулам (2.5) находим коэффициенты

позволяющие записать ряд Фурье:

Для построения спектральных диаграмм при конкретных числовых данных задаемся я=0, 1, 2, 3, ... и вычисляем коэффициенты гармоник. Результаты расчета первых восьми составляющих спектра сведены в табл. 2.1. В ряде (2.4) А" mn =0 и согласно (2.7) A mn =|A’ mn |, основная частота f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Гц, w 1 =2pf 1 =2p*50=314рад/с. Амплитудный спектр на рис.

2.7 построен для таких n, при которых А mn больше 5% максимального зна­чения.

Из приведенного примера 2.3 следует, что с увеличением скваж­ности увеличивается число спектральных составляющих и умень­шаются их амплитуды. Говорят, что такой сигнал обладает бога­тым спектром. Необходимо отметить, что для многих практиче­ски применяемых сигналов нет необходимости проводить вычисление амплитуд и фаз гармоник по приведенным ранее форму­лам.

Таблица 2.1. Амплитуды составляющих ряда Фурье периодической последова­тельности прямоугольных импульсов

Рис. 2.7. Спектральные диаграммы периодической последовательности импуль­сов: а -при скважности S-2; - б-при скважности S=8

В математических справочниках имеются таблицы разложе­ний сигналов в ряд Фурье. Одна из таких таблиц приведена в приложении (табл. П.2).

Часто возникает вопрос: сколько же взять спектральных со-ставляющих (гармоник), чтобы представить реальный сигнал ря­дом Фурье? Ведь ряд-то, строго говоря, бесконечный. Однознач­ного ответа здесь нельзя дать. Все зависит от формы сигнала и точности его представления рядом Фурье. Более плавное измене­ние сигнала - меньше требуется гармоник. Если сигнал имеет скачки (разрывы), то необходимо суммировать большее число гармоник для достижения такой же погрешности. Однако во мно­гих случаях, например в телеграфии, считают, что и для пере­дачи прямоугольных импульсов с крутыми фронтами достаточно трех гармоник.

Часто математическое описание даже несложных по структуре и форме детерминированных сигналов является трудной задачей. Поэтому используют оригинальный прием, при котором реальные сложные сигналы заменяют (представляют, аппроксимируют) набором (взвешенной суммой, т.е. рядом) математических моделей, описываемых элементарными функциями. Это дает важный инструмент для анализа прохождения электрических сигналов через электронные цепи. Кроме того, представление сигнала может использоваться и как исходное при его описании и анализе. При этом можно существенно упростить обратную задачу - синтез сложных сигналов из совокупности элементарных функций.

Спектральное представление периодических сигналов рядами Фурье

Обобщенный ряд Фурье.

Фундаментальная идея спектрального представления сигналов (функций) восходит к временам более чем 200-летней давности и принадлежит физику и математику Ж. Б. Фурье .

Рассмотрим системы элементарных ортогональных функций, каждая из которых получается из одной исходной - функции-прототипа. Эта функция-прототип выполняет роль «строительного блока», а искомая аппроксимация находится соответствующим комбинированием одинаковых блоков. Фурье показал, что любую сложную функцию можно представить (аппроксимировать) в виде конечной или бесконечной суммы ряда кратных гармонических колебаний с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Этой функцией может быть, в частности, ток или напряжение в цепи. Солнечный луч, разложенный призмой на спектр цветов, представляет собой физический аналог математических преобразований Фурье (рис. 2.7).

Свет, выходящий из призмы, разделен в пространстве на отдельные чистые цвета, или частоты. В спектре имеется средняя амплитуда на каждой частоте. Таким образом, функция интенсивности от времени трансформировалась в функцию амплитуды в зависимости от частоты. Простой пример иллюстраций рассуждений Фурье показан на рис. 2.8. Периодическая, достаточно сложная по форме кривая (рис. 2.8, а) - это сумма двух гармоник разных, но кратных частот: одинарной (рис. 2.8, б) и удвоенной (рис. 2.8, в).

Рис. 2.7.

Рис. 2.8.

а - сложное колебание; б,в- 1-й и 2-й аппроксимирующие сигналы

При помощи спектрального анализа Фурье сложная функция представляется суммой гармоник, каждая из которых имеет свою частоту, амплитуду и начатьную фазу. Преобразование Фурье определяет функции, представляющие амплитуду и фазу гармонических составляющих, соответствующие конкретной частоте, а фаза - начальная точка синусоиды.

Преобразование можно получить двумя разными математическими методами, один из которых применяют, когда исходная функция непрерывна, а другой - когда она задается множеством отдельных дискретных значений.

Если исследуемая функция получена из значений с определенными дискретными интервалами, то ее можно разбить на последовательный ряд синусоидальных функций с дискретными частотами - от самой низкой, основной или главной частоты, и далее с частотами вдвое, втрое и т.д. выше основной. Такая сумма составляющих и называется рядом Фурье.

Ортогональные сигналы. Удобным способом спектрального описания сигнала по Фурье является его аналитическое представление с помощью системы ортогональных элементарных функций времени. Пусть имеется гильбертово пространство сигналов u 0 (t) y г/,(?), ..., u n (t) с конечной энергией, определенных на конечном или бесконечном интервале времени (t v 1 2). На этом отрезке зададим бесконечную систему (подмножество) взаимосвязанных элементарных функций времени и назовем ее базисной".

где г = 1, 2, 3,....

Функции u(t) и v(t) ортогональны на интервале (?, ? 2), если их скалярное произведение при условии что ни одна из этих функций нс равна тождественно нулю.

В математике так задают в гильбертовом пространстве сигналов ортогональный координатный базис , т.е. систему ортогональных базисных функций.

Свойство ортогональности функций (сигналов) связано с интервалом их определения (рис. 2.9). Например, два гармонических сигнала м,(?) = = sin(2nr/7’ 0) и u.,(t) = sin(4nt/T Q) (т.е. с частотами/ 0 = 1/7’ 0 и 2/ 0 соответственно) ортогональны на любом интервале времени, длительность которого равна целому числу полупериодов Т 0 (рис. 2.9, а). Следовательно, в первом периоде сигналы и { (1) и u 2 (t) ортогональны на интервале (0, 7" 0 /2); но на интервале (О, ЗГ 0 /4) они неортогональны. Па рис. 2.9, б сигналы ортогональны из-за разновременности их появления.

Рис. 2.9.

а - на интервале; б - из-за разновременности появления Представление сигнала u(t) элементарными моделями существенно упрощается, если выбрана система базисных функций vff), обладающих свойством ортонормированности. Из математики известно, если для любой пары функций из ортогональной системы (2.7) выполняется условие

то система функций (2.7) ортонормированна.

В математике такую систему базисных функций вида (2.7) называют ор- тонормированным базисом.

Пусть на заданном интервале времени |г, t 2 | действует произвольный сигнал u(t) и для его представления используется ортонормированная система функций (2.7). Проектирование произвольного сигнала u(t) на оси координатного базиса называется разложением в обобщенный ряд Фурье. Это разложение имеет вид

где с, - некоторые постоянные коэффициенты.

Для определения коэффициентов с к обобщенного ряда Фурье выберем одну из базисных функций (2.7) v k (t) с произвольным номером к. Умножим обе части разложения (2.9) на эту функцию и проинтегрируем результат по времени:

Вследствие ортонормированности базиса выбранных функций в правой части этого равенства все члены суммы при i ^ к обратятся в нуль. Ненулевым останется только единственный член суммы с номером i = к, поэтому

Произведение вида c k v k (t), входящее в обобщенный ряд Фурье (2.9), представляет собой спектральную составляющую сигнала u(t), а совокупность коэффициентов (проекций векторов сигнала на оси координат) {с 0 , с,..., с к, ..., с„} полностью определяет анализируемый сигнал ii(t) и называется его спектром (от лат. spectrum - образ).

Суть спектрального представлениия (анализа ) сигнала состоит в определении коэффициентов с я в соответствии с формулой (2.19).

Выбор рациональной ортогональной системы координатного базиса функций зависит от цели исследований и определяется стремлением максимального упрощения математического аппарата анализа, преобразований и обработки данных. В качестве базисных функций в настоящее время используются полиномы Чебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра и др. Наибольшее распространение получило преобразование сигналов в базисах гармонических функций: комплексных экспоненциальных exp(J 2лft) и вещественных тригонометрических синусно-косинусных функций, связанных формулой Эйлера е >х = cosx + y"sinx. Это объясняется тем, что гармоническое колебание теоретически полностью сохраняет свою форму при прохождении через линейные цепи с постоянными параметрами, а изменяются при этом лишь его амплитуда и начальная фаза. Также широко используется хорошо разработанный в теории цепей символический метод. Операцию представления детерминированных сигналов в виде совокупности постоянной составляющей (constant component) и суммы гармонических колебаний с кратными частотами принято называть спектральным разложением. Достаточно распространенное использование в теории сигналов обобщенного ряда Фурье связано также с его очень важным свойством: при выбранной ортонормированной системе функций v k (t) и фиксированном числе слагаемых ряда (2.9) он обеспечивает наилучшее представление заданного сигнала u(t). Это свойство рядов Фурье широко известно.

При спектральном представлении сигналов наибольшее применение получили ортонормированные базисы тригонометрических функций. Это обусловлено следующим: гармонические колебания наиболее просто генерировать; гармонические сигналы инвариантны относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями.

Оценим временное и спектральное представления аналогового сигнала (рис. 2.10). На рис. 2.10, а показана временная диаграмма сложного по форме непрерывного сигнала, а на рис. 2.10, б - его спектральное разложение.

Рассмотрим спектральное представление периодических сигналов в виде суммы либо гармонических функций, либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию.

Периодическим называют сигнал и„(?). повторяющийся через регулярные интервалы времени (рис. 2.11):

где Г - период повторения или следования импульсов; п = 0,1, 2,....

Рис. 2.11. Периодический сигнал

Если Т является периодом сигнала u(t), то периодами будут и кратные ему значения: 2Г, 3Т и т.д. Периодическая последовательность импульсов (их называют видеоимпульсами ) описывается выражнением

Рис. 2.10.

а - временная диаграмма; б - амплитудный спектр

Здесь u Q (t) - форма одиночного импульса, характеризующаяся амплитудой (высотой) h = Е, длительностью т„, периодом следования Т= 1/F(F - частота), положением импульсов во времени относительно тактовых точек, например t = 0.

При спектральном анализе периодических сигналов удобна ортогональная система (2.7) в виде гармонических функций с кратными частотами:

где со, = 2п/Т- частота следования импульсов.

Вычисляя интегралы, по формуле (2.8) легко убедиться в ортогональности этих функций на интервале [-Г/2, Г/2|. Любая функция удовлетворяет условию периодичности (2.11), поскольку частоты их кратны. Если систему (2.12) записать как

то получим ортонормированный базис гармонических функций.

Представим периодический сигнал наиболее распространенной в теории сигналов тригонометрической (синусно-косинусной) формой ряда Фурье:

Из курса математики известно, что разложение (2.11) существует, т.е. ряд сходится, если функция (в данном случае сигнал) u(t) на интервале [-7/2, 7/2] удовлетворяет условиям Дирихле (в отличие от теоремы Дирихле их часто трактуют упрощенно):

• не должно быть разрывов 2-го рода (с уходящими в бесконечность ветвями);
• функция ограничена и имеет конечное число разрывов 1-го рода (скачков);
• функция имеет конечное число экстремумов (т.е. максимумов и минимумов).

В формуле (2.13) имеются следующие компоненты анализируемого сигнала:

Постоянная составляющая

Амплитуды косинусоидальных составляющих

Амплитуды синусоидальных составляющих

Спектральную составляющую с частотой со, в теории связи называют первой (основной ) гармоникой , а составляющие с частотами исо, (п > 1) - высшими гармониками периодического сигнала. Шаг по частоте Асо между двумя соседними синусоидами из разложения Фурье называют частотным разрешением спектра.

Если сигнал представляет собой четную функцию времени u(t) = u(-t ), то в тригонометрической записи ряда Фурье (2.13) отсутствуют синусоидальные коэффициенты Ь п, так как в соответствии с формулой (2.16) они обращаются в нуль. Для сигнала u(t), описываемого нечетной функцией времени, наоборот, согласно формуле (2.15) нулю равны косинусоидальные коэффициенты а п (постоянная составляющая а 0 также отсутствует), и ряд содержит составляющие Ь п.

Пределы интегрирования (от -7/2 до 7/2) не обязательно должны быть такими, как в формулах (2.14)-(2.16). Интегрирование может производиться по любому интервалу времени шириной 7 - результат от этого не изменится. Конкретные пределы выбираются из соображений удобства вычислений; например, может оказаться проще выполнять интегрирование от О до 7 или от -7 до 0 и т.д.

Раздел математики, устанавливающий соотношение между функцией времени u(t ) и спектральными коэффициентами а п, Ь п, называют гармоническим анализом вследствие связи функции u(t) с синусоидальными и косинусоидальными членами этой суммы. Далее спектральный анализ в основном ограничен рамками гармонического анализа, находящего исключительное применение.

Часто применение синусно-косинусной формы ряда Фурье не совсем удобно, поскольку для каждого значения индекса суммирования п (т.е. для каждой гармоники с частотой mOj) в формуле (2.13) фигурируют два слагаемых - косинус и синус. С математической точки зрения удобнее эту формулу представить эквивалентным рядом Фурье в вещественной форме/.

где А 0 = а 0 / 2; А п = yja 2 n + Ь - амплитуда; п-й гармоники сигнала. Иногда в соотношении (2.17) перед ср Л ставят знак «плюс», тогда начальную фазу гармоник записывают как ср и = -arctg (b n fa n).

В теории сигналов широко используют комплексную форму ряда Фурье. Она получается из вещественной формы ряда представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент по формуле Эйлера:

Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье (2.17), получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями:

А теперь будем трактовать в формуле (2.19) экспоненты при частоте со, со знаком «минус» в показателе как члены ряда с отрицательными номерами. В рамках этого же подхода коэффициент А 0 станет членом ряда с нулевым номером. После несложных преобразований приходим к комплексной форме ряда Фурье

Комплексная амплитуда п -й гармоники.

Значения С п по положительным и отрицательным номерам п являются комплексно-сопряженными.

Отметим, что ряд Фурье (2.20) представляет собой ансамбль комплексных экспонент exp(jn(o { t) с частотами, образующими арифметическую прогрессию.

Определим связь между коэффициентами тригонометрической и комплексной форм ряда Фурье. Очевидно, что

Можно также показать, что коэффициенты а п = 2C w coscp„; b n = 2C /I sincp, f .

Если u(t) является четной функцией, коэффициенты ряда С, будут вещественными, а если u(t) - функция нечетная, коэффициенты ряда станут мнимыми.

Спектральное представление периодического сигнала комплексной формой ряда Фурье (2.20) содержит как положительные, так и отрицательные частоты. Но отрицательные частоты в природе не существуют, и это математическая абстракция (физический смысл отрицательной частоты - вращение в направлении, противоположном тому, которое принято за положительное). Они появляются как следствие формального представления гармонических колебаний комплексной формой. При переходе от комплексной формы записи (2.20) к вещественной (2.17) отрицательная частота пропадает.

Наглядно о спектре сигнала судят но его графическому изображению - спектральной диаграмме (рис. 2.12). Различают амплитудно-частотные и фазо-частотные спектры. Совокупность амплитуд гармоник А п (рис. 2.12, а) называют амплитудным спектром , их фаз (рис. 2.12, б) ср я - фазовым спектром. Совокупность С п = |С п является комплексным амплитудным спектром (рис. 2.12, в). На спектральных диаграммах но оси абсцисс откладывают текущую частоту, а но оси ординат - либо вещественную, либо комплексную амплитуду или фазу соответствующих гармонических составляющих анализируемого сигнала.

Рис. 2.12.

а - амплитудный; б - фазовый; в - амплитудный спектр комплексного ряда Фурье

Спектр периодического сигнала называют линейчатым или дискретным , так как он состоит из отдельных линий с высотой, равной амплитуде А п гармоник. Из всех видов спектров наиболее информативен амплитудный, поскольку он позволяет оценить количественное содержание тех или иных гармоник в частотном составе сигнала. В теории сигналов доказано, что амплитудный спектр есть четная функция частоты , а фазовый - нечетная.

Отметим эквидистантность (равноудаленность от начала координат) комплексного спектра периодических сигналов: симметричные (положительные и отрицательные) частоты, на которых расположены спектральные коэффициенты тригонометрического ряда Фурье, образуют эквидистантную последовательность (..., -жo v ..., -2со р -со р 0, v 2со, ..., nco v ...), содержащую частоту со = 0 и имеющую шаг co t = 2л/7’. Коэффициенты могут принимать любые значения.

Пример 2.1

Рассчитаем амплитудный и фазовый спектры периодической последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой?, длительностью т и и периодом повторения Т. Сигнал - функция четная (рис. 2.13).

Рис. 2.13.

Решение

Известно, что идеальный прямоугольный видеоимпульс описывается следующим уравнением:

т.е. он формируется как разность двух единичных функций а(?) (функций включения), сдвинутых во времени на т н.

Последовательность прямоугольных импульсов представляет собой известную сумму одиночных импульсов:

Поскольку заданный сигнал является четной функцией времени и в течение одного периода действует только на интервале [т и /2, т и /2], то согласно формуле (2.14)

где q = Т/ т„.

Анализируя полученную формулу, можно заметить, что период следования и длительность импульсов входят в нее в виде отношения. Этот параметр q - отношение периода к длительности импульсов - называют скважностью периодической последовательности импульсов (в зарубежной литературе вместо скважности используют обратную величину - коэффициент заполнения , от англ, duty cycle , равный т и /7); при q = 2 последовательность прямоугольных импульсов, когда длительности импульсов и промежутков между ними становятся равными, называют меандром (от греч. paiav5poq - узор, геометрический орнамент).

В силу четности функции, описывающей анализируемый сигнал, в ряде Фурье наряду с постоянной составляющей будут присутствовать только косинусоидальные составляющие (2.15):

В правой части формулы (2.22) второй сомножитель имеет вид элементарной функции (sinx)/x. В математике эту функцию обозначают как sinc(x), причем только при значении х = 0 она равна единице (lim (sinx/x) =1), проходит

через нуль в точках х = ±л, ±2л,... и затухает с ростом аргумента х (рис. 2.14). Окончательно тригонометрический ряд Фурье (2.13), который аппроксимирует заданный сигнал, записывают в форме

Рис. 2.14. График функции sinx/x

Функция sine имеет лепестковый характер. Говоря о ширине лепестков, следует подчеркнуть, что для графиков дискретных спектров периодических сигналов возможны два варианта градуировки горизонтальной оси - в номерах гармоник и частотах. Например, на рис. 2.14 градуировка оси ординат соответствует частотам. Ширина лепестков, измеренная в числе гармоник, равна скважности последовательности. Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов - в нем отсутствуют (имеют нулевые амплитуды) гармоники с номерами, кратными скважности. При скважности импульсов, равной трем, исчезает каждая третья гармоника. Если бы скважность была бы равна двум, то в спектре остались бы лишь нечетные гармоники основной частоты.

Из формулы (2.22) и рис. 2.14 следует, что коэффициенты ряда высших гармоник сигнала имеют отрицательный знак. Это связано с тем, что начальная фаза этих гармоник равна п. Поэтому формулу (2.22) принято представлять в измененном виде:

При такой записи ряда Фурье значения амплитуд всех высших гармонических составляющих на графике спектральной диаграммы положительны (рис. 2.15, а).

Амплитудный спектр сигнала в значительной степени зависит от отношения периода повторения Т и длительности импульса т и, т.е. от скважности q. Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов со 1 = 2л/Т. Ширина лепестков спектра, измеренная в единицах частоты, равна 2я/т н, т.е. обратно пропорциональна длительности импульсов. Отметим, что при одной и той же длительности импульса т и с увеличением не-

Рис. 2.15.

а - амплитудный; б - фазовый

риода их повторения Т основная частота со, уменьшается и спектр становится плотнее.

Ту же картину наблюдают, если укорачивают длительность импульса т и при неизменном периоде Т. Амплитуды всех гармоник при этом уменьшаются. Это проявление общего закона (принципа неопределенности В. Гейзенберга - Uncertainty principle)’, чем короче длительность сигнала, тем шире его спектр.

Фазы составляющих определим из формулы ср п = arctg(b n /a n). Так как здесь коэффициенты Ь„ = 0, то

где m = 0, 1, 2,....

Соотношение (2.24) показывает, что при вычислениях фаз спектральных составляющих имеем дело с математической неопределенностью. Для ее раскрытия обратимся к формуле (2.22), согласно которой амплитуды гармоник периодически меняют знак в соответствии с изменением знака функции sin(nco 1 x 1I /2). Изменение знака в формуле (2.22) эквивалентно сдвигу фазы этой функции на п. Следовательно, когда данная функция положительна, фаза гармоники (р и = 2тп, а когда отрицательна - = (2т + 1 )к (рис. 2.15, б). Заметим, что хотя амплитуды составляющих в спектре прямоугольных импульсов и уменьшаются с ростом частоты (см. рис. 2.15, а), этот спад довольно медленный (амплитуды убывают обратно пропорционально частоте). Для передачи таких импульсов без искажений необходима бесконечная полоса частот канала связи. Для сравнительно малозаметных искажений граничное значение полосы частот должно быть во много раз больше значения, обратного длительности импульса. Однако все реальные каналы имеют конечную полосу пропускания, что приводит к искажениям формы переданных импульсов.

Ряды Фурье произвольных периодических сигналов могут содержать бесконечно большое количество членов. При расчетах спектров таких сигналов вычисление бесконечной суммы ряда Фурье вызывает определенные трудности и не всегда требуется, поэтому ограничиваются суммированием конечного количества слагаемых (ряд «усекают»).

Точность аппроксимации сигнала зависит от числа суммируемых составляющих. Рассмотрим это на примере аппроксимации суммой из восьми первых гармоник последовательности прямоугольных импульсов (рис. 2.16). Сигнал имеет вид однополярного меандра с периодом повторения Т у амплитудой Е = 1 и длительностью импульсов т и = Т /2 (заданный сигнал - функция четная - рис. 2.16, а ; скважность q = 2). Аппроксимация показана на рис. 2.16, б, причем на графиках показано число суммируемых гармоник. В проводимой аппроксимации заданного периодического сигнала (см. рис. 2.13) тригонометрическим рядом (2.13) суммирование первой и высших гармоник будет осуществляться только по нечетным коэффициентам Пу так как при четных их значениях и длительности импульса т и = Т /2 = = тт/со, величина sin(mo,T H /2) = sin(wt/2) обращается в нуль.

Тригонометрическая форма ряда Фурье (2.23) для заданного сигнала имеет вид

Рис. 2.16.

а - заданный сигнал; 6 - промежуточные стадии суммирования

Для удобства представления ряд Фурье (2.25) можно записать упрощенно:

Из формулы (2.26) очевидно, что гармоники, аппроксимирующие меандр, нечетны, имеют чередующиеся знаки, а их амплитуды обратно пропорциональны номерам. Отметим, что последовательность прямоугольных импульсов плохо подходит для представления рядом Фурье - аппроксимация содержит пульсации и скачки, а сумма любого числа гармонических составляющих с любыми амплитудами всегда будет непрерывной функцией. Поэтому поведение ряда Фурье в окрестностях разрывов представляет особый интерес. Из графиков рис. 2.16, б нетрудно заметить, как с увеличением числа суммируемых гармоник результирующая функция все точнее приближается к форме исходного сигнала u{t) везде, кроме точек ее разрыва. В окрестности точек разрыва суммирование ряда Фурье дает наклонный участок, причем крутизна наклона результирующей функции возрастает с увеличением числа суммируемых гармоник. В самой точке разрыва (обозначим ее как t = t 0) ряд Фурье u(t 0) сходится к полусумме правого и левого пределов:

На примыкающих к разрыву участках аппроксимируемой кривой сумма ряда дает заметные пульсации, причем на рис. 2.16 видно, что амплитуда основного выброса этих пульсаций не уменьшается с ростом числа суммируемых гармоник - он лишь сжимается по горизонтали, приближаясь к точке разрыва.

При п -? в точках разрыва амплитуда выброса остается постоянной,

а его ширина будет бесконечно узкой. Не изменяются и относительная амплитуда пульсаций (по отношению к амплитуде скачка), и относительное затухание; изменяется только частота пульсаций, которая определяется частотой последних суммируемых гармоник. Это связано со сходимостью ряда Фурье. Обратимся к классическому примеру: достигнете ли вы когда-нибудь стены, если с каждым шагом будете проходить половину оставшегося расстояния? Первый шаг приведет к отметке половины пути, второй - к отметке на трех его четвертях, а после пятого шага пройдете уже почти 97% пути. Вы почти дошли до цели, однако сколько бы вы еще шагов вперед ни сделали, никогда не достигнете ее в строгом математическом смысле. Можно лишь доказать математически, что в конце концов вы сможете приблизиться на любое заданное сколь угодно малое расстояние. Данное доказательство будет эквивалентно демонстрации того, что сумма чисел 1/2,1/4,1/8,1/16 и т.д. стремится к единице. Это явление, присущее всем рядам Фурье для сигналов с разрывами 1-го рода (например, скачками, как на фронтах прямоугольных импульсов), называют эффектом Гиббса *. При этом значение первого (самого большого) выброса амплитуды в аппроксимируемой кривой составляет около 9% уровня скачка (см. рис. 2.16, п = 4).

Эффект Гиббса приводит к неустранимой погрешности аппроксимации периодических импульсных сигналов с разрывами 1-го рода. Эффект имеет место при резких нарушениях монотонности функций. На скачках эффект максимален, во всех других случаях амплитуда пульсаций зависит от характера нарушения монотонности. Для ряда практических приложений эффект Гиббса вызывает определенные проблемы. Например, в звуковоспроизводящих системах это явление называют «звоном» или «дребезгом». При этом каждый резкий согласный или другой внезапный звук может сопровождаться коротким неприятным для слуха звуком.

Ряд Фурье может быть применен не только для периодических сигналов, но и для сигналов конечной длительности. При этом оговаривается времен-

ной интервал, для которого строится ряд Фурье, а в остальные моменты времени сигнал считается равным нулю. Для расчета коэффициентов ряда такой подход означает периодическое продолжение сигнала за границами рассматриваемого интервала.

Отметим, что и природа (например, слух человека) использует принцип гармонического анализа сигналов. Виртуальное преобразование Фурье человек производит всякий раз, когда слышит звук: ухо автоматически выполняет это, представляя звук в виде спектра последовательных значений громкости для тонов различной высоты. Мозг человека превращает эту информацию в воспринимаемый звук.

Гармонический синтез. В теории сигналов наряду с гармоническим анализом сигналов широко используют гармонический синтез - получение заданных колебаний сложной формы путем суммирования ряда гармонических составляющих их спектра. По существу выше был проведен синтез периодической последовательности прямоугольных импульсов суммой из ряда гармоник. На практике эти операции выполняют на компьютере, как это показано на рис. 2.16, б.

• Жан Батист Жозеф Фурье (J. В. J. Fourier; 1768-1830) - французский математик и физик.
• Джозайя Гиббс (J. Gibbs, 1839-1903) - американский физик и математик, один из основоположников химической термодинамики и статистической физики.

Во многих случаях задача получения (вычисления) спектра сигнала выглядит следующим образом. Имеется АЦП, который с частотой дискретизации Fd преобразует непрерывный сигнал, поступающий на его вход в течение времени Т, в цифровые отсчеты - N штук. Далее массив отсчетов подается в некую программку, которая выдает N/2 каких-то числовых значений (программист, который утянул из инета написал программку, уверяет, что она делает преобразование Фурье).

Чтобы проверить, правильно ли работает программа, сформируем массив отсчетов как сумму двух синусоид sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) и подсунем программке. Программа нарисовала следующее:

рис.1 График временной функции сигнала

рис.2 График спектра сигнала

На графике спектра имеется две палки (гармоники) 5 Гц с амплитудой 0.5 В и 10 Гц - с амплитудой 1 В, все как в формуле исходного сигнала. Все отлично, программист молодец! Программа работает правильно.

Это значит, что если мы подадим на вход АЦП реальный сигнал из смеси двух синусоид, то мы получим аналогичный спектр, состоящий из двух гармоник.

Итого, наш реальный измеренный сигнал, длительностью 5 сек , оцифрованный АЦП, то есть представленный дискретными отсчетами, имеет дискретный непериодический спектр.

С математической точки зрения - сколько ошибок в этой фразе?

Теперь начальство решило мы решили, что 5 секунд - это слишком долго, давай измерять сигнал за 0.5 сек.



рис.3 График функции sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) на периоде измерения 0.5 сек

рис.4 Спектр функции

Что-то как бы не то! Гармоника 10 Гц рисуется нормально, а вместо палки на 5 Гц появилось несколько каких-то непонятных гармоник. Смотрим в интернетах, что да как…

Во, говорят, что в конец выборки надо добавить нули и спектр будет рисоваться нормальный.

рис.5 Добили нулей до 5 сек

рис.6 Получили спектр

Все равно не то, что было на 5 секундах. Придется разбираться с теорией. Идем в Википедию - источник знаний.

2. Непрерывная функция и представление её рядом Фурье

Математически наш сигнал длительностью T секунд является некоторой функцией f(x), заданной на отрезке {0, T} (X в данном случае - время). Такую функцию всегда можно представить в виде суммы гармонических функций (синусоид или косинусоид) вида:

(1), где:

K - номер тригонометрической функции (номер гармонической составляющей, номер гармоники)
T - отрезок, где функция определена (длительность сигнала)
Ak - амплитуда k-ой гармонической составляющей,
θk- начальная фаза k-ой гармонической составляющей

Что значит «представить функцию в виде суммы ряда»? Это значит, что, сложив в каждой точке значения гармонических составляющих ряда Фурье, мы получим значение нашей функции в этой точке.

(Более строго, среднеквадратичное отклонение ряда от функции f(x) будет стремиться к нулю, но несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно. См. https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Фурье .)

Этот ряд может быть также записан в виде:

(2),
где , k-я комплексная амплитуда.

Связь между коэффициентами (1) и (3) выражается следующими формулами:

Отметим, что все эти три представления ряда Фурье совершенно равнозначны. Иногда при работе с рядами Фурье бывает удобнее использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента, то есть использовать преобразование Фурье в комплексной форме. Но нам удобно использовать формулу (1), где ряд Фурье представлен в виде суммы косинусоид с соответствующими амплитудами и фазами. В любом случае неправильно говорить, что результатом преобразования Фурье действительного сигнала будут комплексные амплитуды гармоник. Как правильно говорится в Вики «Преобразование Фурье (ℱ) - операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, также вещественной переменной.»

Итого:
Математической основой спектрального анализа сигналов является преобразование Фурье.

Преобразование Фурье позволяет представить непрерывную функцию f(x) (сигнал), определенную на отрезке {0, T} в виде суммы бесконечного числа (бесконечного ряда) тригонометрических функций (синусоид и\или косинусоид) с определёнными амплитудами и фазами, также рассматриваемых на отрезке {0, T}. Такой ряд называется рядом Фурье.

Отметим еще некоторые моменты, понимание которых требуется для правильного применения преобразования Фурье к анализу сигналов. Если рассмотреть ряд Фурье (сумму синусоид) на всей оси Х, то можно увидеть, что вне отрезка {0, T} функция представленная рядом Фурье будет будет периодически повторять нашу функцию.

Например, на графике рис.7 исходная функция определена на отрезке {-T\2, +T\2}, а ряд Фурье представляет периодическую функцию, определенную на всей оси х.

Это происходит потому, что синусоиды сами являются периодическими функциями, соответственно и их сумма будет периодической функцией.

рис.7 Представление непериодической исходной функции рядом Фурье

Таким образом:

Наша исходная функция - непрерывная, непериодическая, определена на некотором отрезке длиной T.
Спектр этой функции - дискретный, то есть представлен в виде бесконечного ряда гармонических составляющих - ряда Фурье.
По факту, рядом Фурье определяется некоторая периодическая функция, совпадающая с нашей на отрезке {0, T}, но для нас эта периодичность не существенна.

Периоды гармонических составляющих кратны величине отрезка {0, T}, на котором определена исходная функция f(x). Другими словами, периоды гармоник кратны длительности измерения сигнала. Например, период первой гармоники ряда Фурье равен интервалу Т, на котором определена функция f(x). Период второй гармоники ряда Фурье равен интервалу Т/2. И так далее (см. рис. 8).

рис.8 Периоды (частоты) гармонических составляющих ряда Фурье (здесь Т=2π)

Соответственно, частоты гармонических составляющих кратны величине 1/Т. То есть частоты гармонических составляющих Fk равны Fk= к\Т, где к пробегает значения от 0 до ∞, например к=0 F0=0; к=1 F1=1\T; к=2 F2=2\T; к=3 F3=3\T;… Fk= к\Т (при нулевой частоте - постоянная составляющая).

Пусть наша исходная функция, представляет собой сигнал, записанный в течение Т=1 сек. Тогда период первой гармоники будет равен длительности нашего сигнала Т1=Т=1 сек и частота гармоники равна 1 Гц. Период второй гармоники будет равен длительности сигнала, деленной на 2 (Т2=Т/2=0,5 сек) и частота равна 2 Гц. Для третьей гармоники Т3=Т/3 сек и частота равна 3 Гц. И так далее.

Шаг между гармониками в этом случае равен 1 Гц.

Таким образом сигнал длительностью 1 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 1 Гц.
Чтобы увеличить разрешение в 2 раза до 0,5 Гц - надо увеличить длительность измерения в 2 раза - до 2 сек. Сигнал длительностью 10 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 0,1 Гц. Других способов увеличить разрешение по частоте нет.

Существует способ искусственного увеличения длительности сигнала путем добавления нулей к массиву отсчетов. Но реальную разрешающую способность по частоте он не увеличивает.

3. Дискретные сигналы и дискретное преобразование Фурье

С развитием цифровой техники изменились и способы хранения данных измерений (сигналов). Если раньше сигнал мог записываться на магнитофон и храниться на ленте в аналоговом виде, то сейчас сигналы оцифровываются и хранятся в файлах в памяти компьютера в виде набора чисел (отсчетов).

Обычная схема измерения и оцифровки сигнала выглядит следующим образом.

рис.9 Схема измерительного канала

Сигнал с измерительного преобразователя поступает на АЦП в течение периода времени Т. Полученные за время Т отсчеты сигнала (выборка) передаются в компьютер и сохраняются в памяти.

рис.10 Оцифрованный сигнал - N отсчетов полученных за время Т

Какие требования выдвигаются к параметрам оцифровки сигнала? Устройство, преобразующее входной аналоговый сигнал в дискретный код (цифровой сигнал) называется аналого-цифровой преобразователь (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Одним из основных параметров АЦП является максимальная частота дискретизации (или частота семплирования, англ. sample rate) - частота взятия отсчетов непрерывного во времени сигнала при его дискретизации. Измеряется в герцах. ((Wiki))

Согласно теореме Котельникова, если непрерывный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой Fмакс, то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени , т.е. с частотой Fd ≥ 2*Fмакс, где Fd - частота дискретизации; Fмакс - максимальная частота спектра сигнала. Другими слова частота оцифровки сигнала (частота дискретизации АЦП) должна как минимум в 2 раза превышать максимальную частоту сигнала, который мы хотим измерить.

А что будет, если мы будем брать отсчеты с меньшей частотой, чем требуется по теореме Котельникова?

В этом случае возникает эффект «алиасинга» (он же стробоскопический эффект, муаровый эффект), при котором сигнал высокой частоты после оцифровки превращается в сигнал низкой частоты, которого на самом деле не существует. На рис. 11 красная синусоида высокой частоты - это реальный сигнал. Синяя синусоида более низкой частоты - фиктивный сигнал, возникающий вследствие того, за время взятия отсчета успевает пройти больше, чем пол-периода высокочастотного сигнала.

Рис. 11. Появление ложного сигнала низкой частоты при недостаточно высокой частоте дискретизации

Чтобы избежать эффекта алиасинга перед АЦП ставят специальный антиалиасинговый фильтр - ФНЧ (фильтр нижних частот), который пропускает частоты ниже половины частоты дискретизации АЦП, а более высокие частоты зарезает.

Для того, чтобы вычислить спектр сигнала по его дискретным отсчетам используется дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Отметим еще раз, что спектр дискретного сигнала «по определению» ограничен частотой Fмакс, меньшей половине частоты дискретизации Fd. Поэтому спектр дискретного сигнала может быть представлен суммой конечного числа гармоник, в отличие от бесконечной суммы для ряда Фурье непрерывного сигнала, спектр которого может быть неограничен. Согласно теореме Котельникова максимальная частота гармоники должна быть такой, чтобы на нее приходилось как минимум два отсчета, поэтому число гармоник равно половине числа отсчетов дискретного сигнала. То есть если в выборке имеется N отсчетов, то число гармоник в спектре будет равно N/2.

Рассмотрим теперь дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Сравнивая с рядом Фурье

Видим, что они совпадают, за исключением того, что время в ДПФ имеет дискретный характер и число гармоник ограничено величиной N/2 - половиной числа отсчетов.

Формулы ДПФ записываются в безразмерных целых переменных k, s, где k – номера отсчетов сигнала, s – номера спектральных составляющих.
Величина s показывает количество полных колебаний гармоники на периоде Т (длительности измерения сигнала). Дискретное преобразование Фурье используется для нахождения амплитуд и фаз гармоник численным методом, т.е. «на компьютере»

Возвращаясь к результатам, полученным в начале. Как уже было сказано выше, при разложении в ряд Фурье непериодической функции (нашего сигнала), полученный ряд Фурье фактически соответствует периодической функции с периодом Т. (рис.12).

рис.12 Периодическая функция f(x) с периодом Т0, с периодом измерения Т>T0

Как видно на рис.12 функция f(x) периодическая с периодом Т0. Однако из-за того, что длительность измерительной выборки Т не совпадает с периодом функции Т0, функция, получаемая как ряд Фурье, имеет разрыв в точке Т. В результате спектр данной функции будет содержать большое количество высокочастотных гармоник. Если бы длительность измерительной выборки Т совпадала с периодом функции Т0, то в полученном после преобразования Фурье спектре присутствовала бы только первая гармоника (синусоида с периодом равным длительности выборки), поскольку функция f(x) представляет собой синусоиду.

Другими словами, программа ДПФ «не знает», что наш сигнал представляет собой «кусок синусоиды», а пытается представить в виде ряда периодическую функцию, которая имеет разрыв из-за нестыковки отдельных кусков синусоиды.

В результате в спектре появляются гармоники, которые должны в сумме изобразить форму функции, включая этот разрыв.

Таким образом, чтобы получить «правильный» спектр сигнала, являющегося суммой нескольких синусоид с разными периодами, необходимо чтобы на периоде измерения сигнала укладывалось целое число периодов каждой синусоиды. На практике это условие можно выполнить при достаточно большой длительности измерения сигнала.

Рис.13 Пример функции и спектра сигнала кинематической погрешности редуктора

При меньшей длительности картина будет выглядеть «хуже»:

Рис.14 Пример функции и спектра сигнала вибрации ротора

На практике бывает сложно понять, где «реальные составляющие», а где «артефакты», вызванные некратностью периодов составляющих и длительности выборки сигнала или «скачками и разрывами» формы сигнала. Конечно слова «реальные составляющие» и «артефакты» не зря взяты в кавычки. Наличие на графике спектра множества гармоник не означает, что наш сигнал в реальности из них «состоит». Это все равно что считать, будто число 7 «состоит» из чисел 3 и 4. Число 7 можно представить в виде суммы чисел 3 и 4 - это правильно.

Так и наш сигнал… а вернее даже не «наш сигнал», а периодическую функцию, составленную путем повторения нашего сигнала (выборки) можно представить в виде суммы гармоник (синусоид) с определенными амплитудами и фазами. Но во многих важных для практики случаях (см. рисунки выше) действительно можно связать полученные в спектре гармоники и с реальными процессами, имеющими циклический характер и вносящими значительный вклад в форму сигнала.

Некоторые итоги

1. Реальный измеренный сигнал, длительностью T сек, оцифрованный АЦП, то есть представленный набором дискретных отсчетов (N штук), имеет дискретный непериодический спектр, представленный набором гармоник (N/2 штук).

2. Сигнал представлен набором действительных значений и его спектр представлен набором действительных значений. Частоты гармоник положительны. То, что математикам бывает удобнее представить спектр в комплексной форме с использованием отрицательных частот не значит, что «так правильно» и «так всегда надо делать».

3. Сигнал, измеренный на отрезке времени Т определен только на отрезке времени Т. Что было до того, как мы начали измерять сигнал, и что будет после того - науке это неизвестно. И в нашем случае - неинтересно. ДПФ ограниченного во времени сигнала дает его «настоящий» спектр, в том смысле, что при определенных условиях позволяет вычислить амплитуду и частоту его составляющих.

Использованные материалы и другие полезные материалы.

Периодический сигнал любой формы с периодом Т может быть представлен в виде суммы

гармонических колебаний с разными амплитудами и начальными фазами, частоты которых кратны основной частоте . Гармонику этой частоты называют основной или первой, остальные – высшими гармониками.

Тригонометрическая форма ряда Фурье:

,

где
- постоянная составляющая;

- амплитуды косинусоидальных составляющих;

- амплитуды синусоидальных составляющих.

Четный сигнал (
) имеет только косинусоидальные, а нечетный (
- только синусоидальные слагаемые.

Более удобной является эквивалентная тригонометрическая форма ряда Фурье:

,

где
- постоянная составляющая;

- амплитуда n-ой гармоники сигнала. Совокупность амплитуд гармонических составляющих носит название спектра амплитуд;

- начальная фаза n-ой гармоники сигнала. Совокупность фаз гармонических составляющих носит название спектра фаз.

1. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов. Зависимость спектра от периода следования импульсов и их длительности. Ширина спектра. Разложение в ряд Фурье пппи

Рассчитаем амплитудный и фазовый спектры ПППИ, имеющих амплитуду
, длительность , период следования и расположенных симметрично относительно начала координат (сигнал – четная функция).

Рисунок 5.1 – Временная диаграмма ПППИ.

Сигнал на интервале одного периода можно записать:

Вычисления:

,

Ряд Фурье для ПППИ имеет вид:.

Рисунок 5.2 – Амплитудная спектральная диаграмма ПППИ.

Рисунок 5.3 – Фазовая спектральная диаграмма ПППИ.

Спектр ПППИ линейчатый (дискретный) (представляется набором отдельных спектральных линий), гармонический (спектральные линии находятся на одинаковом расстоянии друг от друга ω 1), убывающий (амплитуды гармоник убывают с ростом их номера), имеет лепестковую структуру (ширина каждого лепестка равна 2π/τ), неограниченный (интервал частот, в котором располагаются спектральные линии, бесконечен);

При целочисленных скважностях частотные составляющие с частотами, кратными скважности в спектре отсутствуют (их частоты совпадают с нулями огибающей спектра амплитуд);

С увеличением скважности амплитуды всех гармонических составляющих уменьшаются. При этом если оно связано с увеличением периода повторения Т, то спектр становится плотнее (ω 1 уменьшается), с уменьшением длительности импульса τ – становится больше ширина каждого лепестка;

За ширину спектра ПППИ принят интервал частот, содержащий 95% энергии сигнала, (равен ширине двух первых лепестков огибающей):

или
;

Все гармоники, находящиеся в одном лепестке огибающей, имеют одинаковые фазы, равные либо 0 либо π.

1. Использование преобразования Фурье для анализа спектра непериодических сигналов. Спектр одиночного прямоугольного импульса. Интегральные преобразования Фурье

Сигналы связи всегда ограничены во времени и поэтому не являются периодическими. Среди непериодических сигналов наибольший интерес представляют одиночные импульсы (ОИ). ОИ можно рассматривать как предельный случай периодической последовательности импульсов (ППИ) длительностью при бесконечно большом периоде их повторения
.

Рисунок 6.1 – ППИ и ОИ.

Непериодический сигнал может быть представлен суммой бесконечно большого числа бесконечно близких по частоте колебаний с исчезающе малыми амплитудами. Спектр ОИ является непрерывным и вводится интегралами Фурье:

-
(1) - прямое преобразование Фурье. Позволяет аналитически отыскать спектральную функцию по заданной форме сигнала;

-
(2) - обратное преобразование Фурье. Позволяет аналитически отыскать форму по заданной спектральной функции сигнала.

Комплексная форма интегрального преобразования Фурье (2) дает двустороннее спектральное представление (имеющее отрицательные частоты) непериодического сигнала
в виде суммы гармонических колебаний
с бесконечно малыми комплексными амплитудами
, частоты которых непрерывно заполняют всю ось частот.

Комплексная спектральная плотность сигнала – комплексная функция частоты, одновременно несущая информацию как об амплитуде, так и о фазе элементарных гармоник.

Модуль спектральной плотности называется спектральной плотностью амплитуд. Его можно рассматривать как АЧХ сплошного спектра непериодического сигнала.

Аргумент спектральной плотности
называется спектральной плотностью фаз. Его можно рассматривать как ФЧХ сплошного спектра непериодического сигнала.

Преобразуем формулу (2):

Тригонометрическая форма интегрального преобразования Фурье дает одностороннее спектральное представление (не имеющее отрицательных частот) непериодического сигнала:

.

Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Значение гармонических сигналов для радиотехники обусловлено рядом причин.

В частности:

1. Гармонические сигналы инвариантны относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой.

2. Техника генерирования гармонических сигналов относительно проста.

Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, - что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр.

2.1. Периодические сигналы и ряды Фурье

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал со следующим свойством:

Здесь Т - период сигнала.

Ставится задача найти спектральное разложение такого сигнала.

Ряд Фурье.

Зададим на отрезке времени рассмотренный в гл. I ортонормированцый базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами;

Любая функция из этого базиса удовлетворяет условию периодичности (2.1). Поэтому, - выполнив ортогональное разложение сигнала в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты

получим спектральное разложение

справедливое на всей бесконечности оси времени.

Ряд вида (2.4) называется рядом Фурье даннрго сигнала. Введем основную частоту последовательности, образующей периодический сигнал. Вычисляя коэффициенты разложения по формуле (2.3), запишем ряд Фурье для периодического сигнала

с коэффициентами

(2.6)

Итак, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами кратными основной частоте последовательности.

Каждую гармонику можно описать ее амплитудой и начальной фазой Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде

Подставив эти выражения в (2.5), получим другую, - эквивалентную форму ряда Фурье:

которая иногда оказывается удобнее.

Спектральная диаграмма периодического сигнала.

Так принято называть графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала. Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы (рис. 2.1).

Здесь по горизонтальной оси в некотором масштабе отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси представлены их амплитуды и начальные фазы.

Рис. 2.1. Спектральные диаграммы некоторого периодического сигнала: а - амплитудная; б - фазовая

Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала.

Изучим несколько конкретных примеров.

Пример 2.1. Ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами , четной относительно точки t = 0.

В радиотехнике отношение называют скважностью последовательности. По формулам (2.6) находим

Окончательную формулу ряда Фурье удобно записать в виде

На рис. 2.2 представлены амплитудные диаграммы рассматриваемой последовательности в двух крайних случаях.

Важно отметить, что последовательность коротких импульсов, следующих друг за другом достаточно редко , обладает богатым спектральным составом.

Рис. 2.2. Амплитудный спектр периодической последовательности ррямоугольных видеоимпульсов: а - при большой скважности; б - при малой скважности

Пример 2.2. Ряд Фурье периодической последовательности импульсов, образованной гармоническим сигналом вида ограниченным на уровне (предполагается, что ).

Введем специальный параметр - угол отсечки , определяемый из соотношения откуда

В соотаетствии с этим величина равна длительности одного импульса, выраженной в угловой мере:

Аналитическая запись импульса, порождающего рассматриваемую последовательность, имеет вид

Постоянная составляющая последовательности

Амплитудный коэффициент первой гармоники

Аналогично вычисляют амплитуды - гармонических составляющих при

Полученные результаты обычно записывают так:

где так называемые функции Берга:

Графики некоторых функций Берга приведены на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Графики нескольких первых функций Берга

Комплексная форма ряда Фурье.

Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить и несколько ионному, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

Легко видеть, что функции этой системы периодичны с периодом ортонормированы на отрезке времени так как

Ряд Фурье произвольного периодического сигнала в данном случае принимает вид

с коэффициентами

Обычно используют следующую форму записи:

Выражение (2.11) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме.

Спектр сигнала в соответствии с формулой (2.11) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причем . В ряде (2.11) слагаемые с положительными и отрицательными частотами объединяются в пары, например.