Преобразование сигналов в линейных цепях и системах. Преобразование сигналов линейными параметрическими цепями. Цели курсовой работы
Параметрическими (линейными цепями с переменными параметрами) , называются радиотехнические цепи, один или несколько параметров которых изменяются во времени по заданному закону. Предполагается, что изменение (точнее модуляция) какого-либо параметра осуществляется электронным методом с помощью управляющего сигнала. В радиотехнике широко применяются параметрические сопротивления R(t), индуктивности L(t) и емкости C(t).
Примером одного из современных параметрических сопротивлений может служить канал VLG-транзистора, на затвор которого подано управляющее (гетеродинное) переменное напряжение u г (t). В этом случае крутизна его стоко-затворной характеристики изменяется во времени и связана с управляющим напряжением функциональной зависимостью S(t)=S. Если к VLG-транзистору подключить еще и напряжение модулированного сигнала u(t), то его ток определится выражением:
i c (t)=i(t)=S(t)u(t)=Su(t). (5.1)
Как к классу линейных, к параметрическим цепям применим принцип суперпозиции. Действительно, если приложенное к цепи напряжение является суммой двух переменных
u(t)=u 1 (t)+u 2 (t), (5.2)
то, подставив (5.2) в (5.1), получим выходной ток также в виде суммы двух составляющих
i(t)=S(t)u 1 (t)+S(t)u 2 (t)= i 1 (t)+ i 2 (t) (5.3)
Соотношение (5.3) показывает, что отклик параметрической цепи на сумму двух сигналов равен сумме ее откликов на каждый сигнал в отдельности.
Преобразование сигналов в цепи с параметрическим сопротивлением. Наиболее широко параметрические сопротивления применяются для преобразования частоты сигналов. Отметим, что термин «преобразование частоты» не совсем корректен, поскольку частота сама по себе неизменна. Очевидно, это понятие возникло из-за неточного перевода английского слова «heterodyning – гетеродинирование». Гетеродинирование – это процесс нелинейного или параметрического смешивания двух сигналов различных частот для получения третьей частоты.
Итак, преобразование частоты – это линейный перенос (смешивание, трансформация, гетеродинирование, или транспонирование) спектра модулированного сигнала (а также любого радиосигнала) из области несущей частоты в область промежуточной частоты (или с одной несущей несущей частоты на другую, в том числе и более высокую) без изменения вида или характера модуляции.
Преобразователь частоты (рис.5.1) состоит из смесителя (СМ) – параметрического элемента (например, МДП-транзистора, варикапа или обычного диода с квадратичной характеристикой), гетеродина (Г) – вспомогательного автогенератора гармонических колебаний с частотой ω г, служащего для параметрического управления смесителем, и фильтра промежуточной частоты (обычно колебательного контура УПЧ или УВЧ).
Рис.5.1. Структурная схема преобразователя частоты
Принцип действия преобразователя частоты рассмотрим на примере переноса спектра однотонального АМ-сигнала. Положим, что под воздействием гетеродинного напряжения
u г (t)=U г cos ω г t (5.4)
крутизна характеристики МДП-транзистора преобразователя частоты изменяется во времени приближенно по закону
S(t)=S o +S 1 cos ω г t (5.5)
где S o и S 1 – соответственно среднее значение и первая гармоническая составляющая крутизны характеристики.
При поступлении на МДП-транзистор смесителя АМ-сигнала u AM (t)= U н (1+McosΩt)cosω o t переменная составляющая выходного тока в соответствии с (5.1) и (5.5) будет определяться выражением:
i c (t)=S(t)u AM (t)=(S o +S 1 cos ω г t) U н (1+McosΩt)cosω o t=
U н (1+McosΩt) (5.6)
Пусть в качестве промежуточной частоты параметрического преобразователя выбрана
ω пч =|ω г -ω о |. (5.7)
Тогда, выделив ее с помощью контура УПЧ из спектра тока (5.6), получим преобразованный АМ-сигнал с тем же законом модуляции, но существенно меньшей несущей частотой
i пч (t)=0,5S 1 U н (1+McosΩt)cosω пч t (5.8)
Заметим, что наличие только двух боковых составляющих спектра тока (5.6) определяется выбором предельно простой кусочно-линейной аппроксимации крутизны характеристики транзистора. В реальных схемах смесителей в спектре тока содержатся также составляющие комбинационных частот
ω пч =|mω г ±nω о |, (5.9)
где m и n – любые целые положительные числа.
Соответствующие временные и спектральные диаграммы сигналов с амплитудной модуляцией на входе и выходе преобразователя частоты показаны на рис. 5.2.
Рис.5.2. Диаграммы на входе и выходе преобразователя частоты:
а – временные; б – спектральные
Преобразователь частоты в аналоговых перемножителях . Современные преобоазователи частоты с параметрическими резистивными цепями построены на принципиально новой основе. В них в качестве смесителей используются аналоговые перемножители. Если на входы аналогового перемножителя подать два гармонических колебания некий модулированный сигнал:
u с (t)=U c (t)cosω o t (5.10)
и опорное напряжение гетеродина u г (t)=U г cos ω г t, то его выходное напряжение будет содержать две составляющие
u вых (t)=k a u c (t)u г (t)=0,5k a U c (t)U г (5.11)
Спектральная составляющая с разностной частотой ω пч =|ω г ±ω о | выделяется узкополосным фильтром УПЧ и используется в качестве промежуточной частоты преобразованного сигнала.
Преобразование частоты в цепи с варикапом . Если на варикап подать только гетеродинное напряжение (5.4), то его емкость приближенно будет изменяться во времени по закону (см.рис. 3.2 в части I):
C(t)=C o +C 1 cosω г t, (5.12)
где С о и С 1 – среднее значение и первая гармоническая составляющая емкости варикапа.
Положим, что на варикап воздействуют два сигнала: гетеродинное и (для упрощения расчетов) немодулированное гармоническое напряжение (5.10) с амплитудой U c . В этом случае заряд на емкости варикапа будет определяться:
q(t)=C(t)u c (t)=(С о +С 1 cosω г t)U c cosω o t=
С о U c (t)cosω o t+0,5С 1 U c cos(ω г - ω o)t+0,5С 1 U c cos(ω г + ω o)t, (5.13)
а ток, протекающий через него,
i(t)=dq/dt=- ω o С o U c sinω o t-0,5(ω г -ω o)С 1 U c sin(ω г -ω o)t-
0,5(ω г +ω o)С 1 U c sin(ω г +ω o)t (5.14)
Включив последовательно с варикапом колебательный контур, настроенный на промежуточную частоту ω пч =|ω г -ω о |, можно выделить желаемое напряжение.
С реактивным элементом типа варикапа (для сверхвысоких частот это варактор ) можно создать также параметрический генератор, усилитель мощности, умножитель частоты. Такая возможность основана на преобразовании энергии в параметрической емкости. Из курса физики известно, что энергия, накопленная в конденсаторе, связана с его емкостью С и зарядом на ней q формулой:
Э= q 2 /(2С). (5.15)
Пусть заряд остается постоянным, а емкость конденсатора уменьшается. Поскольку энергия обратно пропорциональна величине емкости, то приуменьшении последней энергия растет. Количественное соотношение такой связи получим, дифференцируя (5.15) по параметру С:
dЭ/dC= q 2 /2C 2 =-Э/С (5.16)
Это выражение также справедливо и для малых приращений емкости ∆С и энергии ∆Э, поэтому можно записать
∆Э=-Э (5.17)
Знак минус здесь показывает, что уменьшение емкости конденсатора (∆С<0) вызывает увеличение запасаемой в нем энергии (∆Э>0). Увеличение энергии происходит за счет внешних затрат на выполнение работы против сил электрического поля при уменьшении емкости (например, путем изменения напряжения смещения на варикапе).
При одновременном воздействии на параметрическую емкость (или индуктивность) нескольких источников сигналов с разными частотами, между ними будет происходить перераспределение (обмен) энергий колебаний. На практике энергия колебаний внешнего источника, называемого генератором накачки , через параметрический элемент передается в цепь полезного сигнала.
Для анализа энергетических соотношений в многоконтурных цепях с варикапом обратимся к обобщенной схеме (рис.5.3). В ней параллельно параметрической емкости С включены три цепи, две из которых содержат источники e 1 (t) и e 2 (t), создающие гармонические колебания с частотами ω 1 и ω 2 . Источники соединены через узкополосные фильтры Ф 1 и Ф 2 , пропускающие соответственно колебания с частотами ω 1 и ω 2 . Третья цепь содержит сопротивление нагрузки R н и узкополосный фильтр Ф 3 , так называемый холостой контур , настроенный на заданную комбинационную частоту
ω 3 = mω 1 +nω 2, (5.18)
где m и n – целые числа.
Для упрощения будем считать, что в схеме применены фильтры без омических потерь. Если в схеме источники e 1 (t) и e 2 (t) отдают мощности Р 1 и Р 2 , то сопротивление нагрузки R н потребляет мощность Р н. Для замкнутой системы в соответствии с законом сохранения энергии получим условие баланса мощностей:
Р 1 +Р 2 +Р н =0 (5.19)
Интересными и полезными для радиотехнических приложений свойствами обладают линейные системы, которые описываются нестационарными системными операторами зависящими от времени. Закон преобразования входного сигнала здесь имеет вид
причем благодаря линейности системы
при любых постоянных
Цепи, описываемые равенством (12.1), называются параметрическими. Термин связан с тем, что в составе таких цепей обязательно присутствуют элементы, параметры которых зависят от времени. В радиотехнических цепях находят применение следующие параметрические резисторы конденсаторы и индуктивности
Отличительная черта линейной параметрической системы - наличие вспомогательного источника колебаний, управляющего параметрами элементов.
Важная роль, отводимая в радиотехнике параметрическим цепям, обусловлена их способностью преобразовывать спектры входных сигналов, а также возможностью создания малошумящих параметрических усилителей.
12.1. Прохождение сигналов через резистивные параметрические цепи
Параметрическую цепь называют резистивной, если ее системный оператор имеет числа , зависящего от времени и служащего коэффициентом пропорциональности между входным и выходным сигналами:
Простейшей системой такого вида служит параметрический резистор с сопротивлением . Закон, связывающий мгновенные значения напряжения и тока в этом двухполюснике, таков:
Параметрический резистивный элемент может описываться также переменнойво времени проводимостью
Реализация параметрических резистивных элементов.
На практике параметрически управляемые резисторы создают следующим образом.
На вход безынерционного нелинейного двухполюсника с вольт-амперной характеристикой подают сумму даух колебаний: управляющего напряжения и напряжения сигнала При этом управляющее напряжение значительно превышает по амплитуде полезный сигнал. Ток в нелинейном двухполюснике можно записать, разложив вольт-амперную характеристику в ряд Тейлора относительно мгновенного значения управляющего напряжения:
Амплитуду сигнала выбирают столь малой, что в формуле (12.5) можно пренебречь вторыми и более высокими степенями величины Обозначив через приращение тока в двухполюснике, вызванное наличием сигнала, получим
Ниже будут изучены важные применения параметрических резистивных элементов рассмотренного вида.
Преобразование частоты.
Так называют трансформацию модулированного сигнала, связанную с переносом его спектра из окрестности несущей частоты в окрестность некоторой промежуточной частоты совершаемую без изменения закона модуляции.
Преобразователь частоты состоит из смесителя - параметрического безынерционного элемента, и гетеродина - вспомогательного генератора гармонических колебаний с частотой служащего для параметрического управления смесителем. Под действием напряжения гетеродина дифференциальная крутизна вольт-амперной характеристики смесителя периодически изменяется во времени по закону
Если на входе преобразователя частоты действует напряжение АМ-сигнала , в соответствии с выражениями (12.6) и (12.7) в выходном токе появляется составляющая ПО см
В качестве промежуточной принято выбирать частоту ток на промежуточной частоте
является АМ-колебанием с тем же законом модуляции, что и входной сигнал.
Для выделения составляющих спектра с частотами, близкими к промежуточной частоте, в выходную цепь преобразователя включают колебательный контур, настроенный на частоту
Рис. 12.1. Структурная схема супергетеродинного приемника
Преобразование частоты широко используется в радиоприемных устройствах - так называемых супергетеродинах. Структурная схема супергетеродинного приемника изображена на рис. 12.1.
Сигнал, принятый антенной, через фильтрующие входные цепи и усилитель радиочастоты (УРЧ) поступает на преобразователь. Выходной сигнал преобразователя является модулированным колебанием с несущей частотой, равной промежуточной частоте приемника. Основное усиление приемника и его частотная избирательность, т. е. способность выделять полезный сигнал из помех с другими частотами, обеспечиваются узкополосным усилителем промежуточной частоты (УПЧ).
Большое достоинство супергетеродина - неизменность промежуточной частоты; для настройки приемника приходится перестраивать лишь гетеродин и в некоторых случаях колебательные системы, которые имеются во входных цепях и в УРЧ.
Отметим, что преобразователь частоты одинаково реагирует на сигналы с частотами радиотехнике говорят, что возможен прием как по основному, так и по зеркальному каналу. Во избежание неоднозначности настройки приемника требуется обеспечить такую избирательность резонансных систем, включенных между антенной и преобразователем частоты, чтобы практически подавить сигналы зеркального канала.
Крутизна преобразования.
Эффективность работы преобразователя частоты принято характеризовать особым параметром - крутизной преобразования которая служит коэффициентом пропорциональности между амплитудой тока промежуточной частоты и амплитудой немодулированного напряжения сигнала, т. е. Как следует из соотношения (12.8),
Итак, крутизна преобразования равна половине амплитуды первой гармоники дифференциальной крутизны параметрического элемента.
Предположим, что вольт-амперная характеристика нелинейного элемента, входящего в преобразователь частоты, квадратична: . В отсутствие сигнала к элементу приложена сумма напряжений смещения и гетеродина:
Дифференциальная крутизна преобразователя изменяется во времени по закону
Обращаясь к формуле (123), видим, что в данном случае
(12.11)
Таким образом, при постоянном уровне полезного сигнала на входе амплитуда выходного сигнала преобразователя пропорциональна амплитуде напряжения гетеродина.
Пример 12.1. В преобразователе частоты использован нелинейный элемент (транзистор) с характеристикой имеющей параметр Резонансное сопротивление колебательного контура в коллекторной цепи . Амплитуда смодулированного входного сигнала амплитуда напряжения гетеродина . Найти значение - амплитуду напряжения промежуточной частоты на выходе преобразователя.
По формуле (12.11) вычисляем крутизну преобразования Амплитуда тока промежуточной частоты в цепи коллектора . Полагая выходное сопротивление транзистора достаточно высоким, гак что можно пренебречь его шунтирующим действием на колебательный контур, находим
Синхронное детектирование.
Предположим, что в преобразователе частоты гетеродин настроен точно на частоту сигнала, поэтому дифференциальная крутизна изменяется во времени по закону
Подав на вход такого устройства АМ-сигнала , получаем выражение для тока обусловленного сигналом:
Выражение, стоящее здесь в квадратных скобках, содержит постоянную составляющую которая зависит от сдвига фазы между сигналом гетеродина и несущим колебанием входного сигнала. Поэтому в спектре выходного тока появится низкочастотная составляющая
этот ток пропорционален переменной амплитуде АМ-сигнала.
Синхронным детектором называют преобразователь частоты, работающий при условии ; для выделения полезного сигнала на выходе включен ФНЧ, например, параллельная RC-цепь.
При использовании синхронных детекторов на практике между несущим колебанием входного сигнала и колебанием гетеродина должно поддерживаться жесткое фазовое соотношение.
Наиболее благоприятен режим работы при если же , то полезный выходной сигнал отсутствует. Чувствительность синхронного детектора к сдвигу фаз позволяет использовать его для измерения фазовых соотношений между двумя когерентными колебаниями.
Ниже показана конкретная методика расчета синхронного детектора.
Пример 12.2. В синхронном детекторе использован транзистор, характеристика которого аппроксимируется двумя отрезками прямых. Параметры аппроксимации: . Амплитуда напряжения гетеродина , постоянное напряжение смещения отсутствует Немодулированное напряжение полезного сигнала с амплитудой сдвинуто по фазе относительно колебаний гетеродина на угол . Определить изменение уровня постоянного напряжения на выходе синхронного детектора, вызванное полезным сигналом, если сопротив ление резистора .
При данном виде вольт-амперной характеристики нелинейного элемента дифференциальная крутизна может принимать лишь два значения:
Поэтому график изменения дифференциальной крутизны во времени представляет собой периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов. Угол отсечки тока , определяющий длительность этих импульсов, найдем по формуле (см. гл. 2)
Разлагая функцию в ряд Фурье, вычисляем амплитуду первой гармоники крутизны:
Полезный сигнал вызывает согласно (12.13) приращение тока через транзистор на величину . Отсюда находим изменение уровня постоянного напряжения на выходе синхронного детектора:
Спектр сигнала на выходе параметрического резистивного элемента.
Анализ работы преобразователя частоты и синхронного детектора убеждает, что в параметрическом резистивном элементе возникают спектральные составляющие, которые отсутствуют на входе этого элемента.
Рассмотрим параметрическое преобразование вида (12.3) с общих позиций спектрального анализа. Очевидно, параметрический резистивный элемент функционирует как перемножитель входного сигнала и управляющего колебания
Запишем следующее соответствие между сигналами и их преобразованиями Фурье:
На основании теоремы о спектре произведения сигналов (см. гл. 2) спектральная плотность выходного сигнала представляет собой свертку
(12.14)
В прикладном отношении большой интерес представляет случай, когда управляющее колебание является периодическим с некоторым заданным периодом и может быть представлено рядом Фурье
(12.15)
где - угловая частота управляющего сигнала.
Как известно, подобный неинтегрируемый сигнал имеет спектральную плотность, отличную от нуля лишь в дискретных точках на оси частот:
(12.16)
Подставив данное выражение в формулу (12.14), получим спектр сигнала на выходе параметрического элемента:
(12.17)
Спектр стробированного сигнала.
Анализ общей формулы (12.17) удобно провести применительно к частному, но широко распространенному на практике случаю. Пусть управляющая функция на протяжении каждого периода равна единице в пределах отрезка времени длительностью ; в остальные моменты времени функция равна нулю.
В радиотехнике операцию умножения сигнала на функцию подобного вида называют стробированием сигнала.
Легко убедиться, что коэффициенты комплексного ряда Фурье (12.15) применительно к рассматриваемой стробирующей функции выражаются следующим образом:
(12.18)
где - скважность стробирукяцей последовательности.
Подстановка этого результата в формулу (12.17) приводит к выводу о том, что спектральная плотность стробированного сигнала
Пусть на входе линейного четырехполюсника (рис. 7.1) с передаточной функцией и импульсной характеристикой действует случайный процесс с заданными статистическими характеристиками; требуется найти статистические характеристики процесса на выходе четырехполюсника.
В гл. 4 были рассмотрены основные характеристики случайного процесса: распределение вероятностей; корреляционная функция; спектральная плотность мощности.
Определение последних двух характеристик является наиболее простой задачей. Иначе обстоит дело с определением закона распределения случайного процесса на выходе линейной цепи. В общем случае при произвольном распределении процесса на входе отыскание распределения на выходе инерционной цепи представляет собой весьма сложную задачу.
Рис. 7.1. Линейный четырехполюсник с постоянными параметрами
Лишь при нормальном распределении входного процесса задача упрощается, так как при любых линейных операциях с гауссовским процессом (усилении, фильтрации, дифференцировании, интегрировании и т. д.) распределение остается нормальным, изменяются лишь функции .
Поэтому, если задана плотность вероятности входного процесса (с нулевым средним)
то плотность вероятности на выходе линейной цепи
Дисперсия легко определяется по спектру или по корреляционной функции. Таким образом, анализ передачи гауссовских процессов через линейные цепи по существу сводится к спектральному (или корреляционному) анализу.
Последующие четыре параграфа посвящены преобразованию только спектра и корреляционной функции случайного процесса. Это рассмотрение справедливо при любом законе распределения вероятностей. Вопрос же о преобразовании закона распределения при негауссовских входных процессах рассматривается в § 7.6-7.7.
4.1. Классификация и характеристики
параметрических цепей
Литература: [Л.1], стр. 307-308
[Л.2], стр. 368-371
Параметрическими называются радиотехнические цепи, оператор преобразования которых зависит от времени. Закон преобразования сигнала в параметрической цепи записывается выражением:
Параметрический резистор , сопротивление которого изменяется во времени по заданному закону и вместе с тем не зависит от величины входного сигнала, может быть реализован на базе безынерциального нелинейного элемента с вольт-амперной характеристикой , на вход которого подается сумма преобразуемого сигнала и управляющего напряжения (рис. 4.1).
Положение рабочей точки А на характеристике определяется постоянным напряжением смещения . Так как напряжение сигнала гораздо меньше напряжения смещения , то такой слабый сигнал можно считать малым приращением по отношению к и сопротивление нелинейного элемента по отношению к сигналу оценивать дифференциальным сопротивлением
. (4.2)
Величина, обратная , как известно, называется дифференциальной крутизной
. (4.3)
Если, например, ВАХ нелинейного элемента аппроксимируется полиномом:
то в соответствии с (4.3), получим
или, учитывая, что
Ток, вызванный полезным сигналом
Таким образом, по отношению к сигналу справедливо условие (4.1) и по отношению к сигналу нелинейный элемент ведет себя как линейный, но с переменной крутизной .
Существенной особенностью параметрического резистора является то, что его сопротивление или крутизна могут быть отрицательными . Это имеет место при выборе рабочей точки на спадающем участке вольт-амперной характеристики (точка В на рис. 4.1).
Переменную управляемую емкость в параметрических цепях реализуют при помощи специальных полупроводниковых диодов, называемых варикапами . Работа этих диодов основана на следующем эффекте: если к переходу диода приложено напряжение обратной полярности, то разделенный заряд в запирающем слое является нелинейной функцией приложенного напряжения . Зависимость называют кулон-вольтовой характеристикой
где – значение емкости.
Так же, как и сопротивление резистора, емкость может быть статической и дифференциальной. Дифференциальная емкость определяется следующим образом
. (4.5)
Здесь – исходное запирающее напряжение варикапа.
При изменении напряжения, приложенного к варикапу (конденсатору) возникает ток:
Очевидно, чем больше запирающее напряжение, тем больше величина обратного перехода, тем меньше значение .
Переменную управляемую индуктивность в параметрических цепях можно реализовать на базе катушки индуктивности с ферромагнитным сердечником, магнитная проницаемость которого зависит от величины подмагничивающего тока . Однако, вследствие большой инерционности процессов перемагничивания материала сердечника, переменные управляемые индуктивности не нашли применения в параметрических радиотехнических цепях.