Как экспериментально снять временные характеристики линейных цепей. Частотные и временные характеристики линейных цепей. Вопросы для самопроверки

1. ЗАДАНИЕ

Схема исследуемой цепи [рис. 1] №22, в соответствии с вариантом задания 22 - 13 - 5 - 4. Параметры элементов цепи: L = 2 мГн, R = 2кОм, C = 0,5 нФ.

Внешнее воздействие задано функцией: , где а вычисляется по формуле (1) и равно .

Рисунок 1. Электрическая схема заданной цепи

Необходимо определить:

а) выражение для первичных параметров заданного четырехполюсника в виде функции частоты;

б) комплексный коэффициент передачи по напряжению четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах ;

в) амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики коэффициента передачи по напряжению;

г) операторный коэффициент передачи по напряжению четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах ;

д) переходную характеристику цепи ;

е) импульсную характеристику цепи ;

ж) отклик цепи на заданное входное воздействие при отключенной нагрузке.

2. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

.1 Определение первичных параметров четырехполюсника

Для определения Z - параметров четырехполюсника составим уравнения электрического равновесия цепи по методу контурных токов используя комплексную схему замещения цепи [рис. 2]:

Рисунок 2. Комплексная схема замещения заданной электрической цепи

Выбирая направление обхода контуров, как указано на [рис. 2], и учитывая, что

запишем контурные уравнения цепи:

Подставим в полученные уравнения значения и :

(2)

Полученные уравнения (2) содержат только токи и напряжения на входных и выходных зажимах четырехполюсника и могут быть преобразованы к стандартному виду записи основных уравнений четырехполюсника в форме Z:

(3)

Преобразуя уравнения (2) к виду (3), получим:

Сравнивая полученные уравнения с уравнениями (3), получаем:

четырехполюсник напряжение холостой амплитудный

2.2 Определение коэффициента передачи по напряжению в режиме холостого хода на выходе

Комплексный коэффициент передачи по напряжению от зажимов к зажимам в режиме холостого хода () на выходе найдем, используя полученные в пункте 2.1 выражения для первичных параметров:

2.3 Определение амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик коэффициента передачи по напряжению

Рассмотрим полученное выражение для как отношение двух комплексных чисел, находим выражение для АЧХ и ФЧХ.

АЧХ будет иметь вид:

Из формулы (4) следует, что ФЧХ будет иметь вид:

Где, рад/с находится из уравнения

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на следующей странице. [рис.3, рис.4]

Рисунок 3 . Амплитудно-частотная характеристика

Рисунок 4. Фазочастотная характеристика

Предельные значения и при для контроля вычислений полезно определить, не прибегая к расчетным формулам:

· учитывая, что сопротивление индуктивности при постоянном токе равно нулю, а сопротивление емкости бесконечно велико, в схеме [см. рис1] можно разорвать ветвь, содержащую емкость, и заменить индуктивность перемычкой. В полученной схеме и , т.к входное напряжение совпадает по фазе с напряжением на зажимах ;

· на бесконечно большой частоте ветвь, содержащую индуктивность, можно разорвать, т.к. сопротивление индуктивности стремится к бесконечности. Не смотря на то, что сопротивление емкости стремится к нулю, ее нельзя заменить перемычкой, так как напряжение на емкости является откликом. В полученной схеме [см. рис.5], при , , входной ток опережает по фазе входное напряжение на , а напряжение выходе совпадает по фазе с напряжением на входе, поэтому .

Рисунок 5. Электрическая схема заданной цепи при .

2.4 Определение операторный коэффициент передачи по напряжению четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах

Операторная схема замещения цепи по внешнему виду не отличается от комплексной схемы замещения [рис.2], так как анализ электрической цепи проводится при нулевых начальных условиях. В этом случае для получения операторного коэффициента передачи по напряжению достаточно в выражении для комплексного коэффициента передачи заменить оператором :

Преобразуем последнее выражение так, чтобы коэффициенты при старших степенях в числителе и знаменателе были равны единице:

Функция имеет два комплексно-сопряженных полюса: ; и один вещественный нуль: .

Рисунок 6. Полюсно-нулевая диаграмма функции

Полюсно-нулевая диаграмма функции приведена на рис.6. Переходные процессы в цепи имеют колебательный затухающий характер.

2.5 Определение переходной и импульсной характеристик цепи

Операторное выражение позволяет получить изображения переходной и импульсной характеристик. Переходную характеристику удобно определять, используя связь между изображением по Лапласу переходной характеристики и операторным коэффициентом передачи:

(5)

Импульсная характеристика цепи может быть получена из соотношений:

(6)

(7)

Используя формулы (5) и (6), запишем выражения изображений импульсной и переходной характеристик:

Преобразуем изображения переходной и импульсной характеристик к виду, удобному для определения оригиналов временных характеристик с помощью таблиц преобразований Лапласа:

(8)

(9)

Таким образом, все изображения сведены к следующим операторным функциям, оригиналы которых приведены в таблицах преобразований Лапласа:

(12)

Учитывая, что для данного рассматриваемого случая , , , найдем значения постоянных для выражения (11) и значения постоянных для выражения (12).

Для выражения (11):

И для выражения (12):

Подставляя полученные значения в выражения (11) и (12), получим:

После преобразований получаем окончательные выражения для временных характеристик:

Переходной процесс в данной цепи заканчивается после коммутации за время , где - определяется как обратная величина к абсолютной минимальной величине вещественной части полюса . Так как , то время затухания равно (6 - 10) мкс. Соответственно, выбираем интервал расчета численных значений временных характеристик . Графики переходной и импульсной характеристик приведены на рис.7 и 8.

Для качественного объяснения вида переходной и импульсной характеристик цепи к входным зажимам независимый источник напряжения . Переходная характеристика цепи численно совпадает с напряжением на выходных зажимах при воздействии на цепь единичного скачка напряжения при нулевых начальных условиях. В первоначальный момент времени после коммутации напряжение на емкости равно нулю, так как по законам коммутации при конечном значении амплитуды скачка напряжение на емкости скачком измениться не может. Следовательно, , то есть . При напряжение на входе можно считать постоянным и равным 1В, то есть . В цепи, соответственно, могут протекать только постоянные токи, поэтому емкость можно заменить разрывом, а индуктивность перемычкой, следовательно в преобразованной таким образом цепи , то есть . Переход от начального состояния к установившемуся происходит в колебательном режиме, что объясняется процессом периодического обмена энергией между индуктивностью и емкостью. Затухание колебаний происходит из-за потерь энергии на сопротивлении R.

Рисунок 7. Переходная характеристика .

Рисунок 8. Импульсная характеристика .

Импульсная характеристика цепи численно совпадает с выходным напряжением при подаче на вход единичного импульса напряжения . В течении действия единичного импульса емкость заряжается до своего максимального значения, а напряжение на емкости становится равным

.

При источник напряжения может быть заменен короткозамкнутой перемычкой, а в цепи возникает затухающий колебательный процесс обмена энергией между индуктивностью и емкостью. На начальном этапе емкость разряжается, ток емкости плавно уменьшается до 0, а ток индуктивности растет до своего максимального значения при . Затем ток индуктивности, плавно уменьшаясь, перезаряжает емкость в противоположном направлении и т.д. При вследствие рассеяния энергии в сопротивлении все токи и напряжения цепи стремятся к нулю. Таким образом, затухающий с течением времени колебательный характер напряжения на емкости и объясняет вид импульсной характеристики, причем и .

Корректность расчета импульсной характеристики подтверждается качественно тем, что график на рис.8 переходит через 0 в те моменты времени, когда график на рис.7 имеет локальные экстремумы, а максимумы совпадают по времени с точками перегиба графика . А также корректность расчетов подтверждается тем, что графики и , в соответствии с формулой (7), совпадают. Для проверки правильности нахождения переходной характеристики цепи найдем эту характеристику при воздействии на цепь единичного скачка напряжения классическим методом:

Найдем независимые начальные условия ():

Найдем зависимые начальные условия ():

Для этого обратимся к рис.9, на котором изображена схема цепи в момент времени , тогда получим:

Рисунок 9. Схема цепи в момент времени

Найдем принужденную составляющую отклика:

Для этого обратимся к рис.10, на котором изображена схема цепи при после коммутации. Тогда получаем, что

Рисунок 10. Схема цепи при .

Составим дифференциальное уравнение:

Для этого сначала запишем уравнение баланса токов в узле по первому закону Кирхгофа и запишем некоторые уравнения на основании второго законов Кирхгоффа:

Используя компонентные уравнения преобразуем первое уравнение:

Выразим все неизвестные напряжения через :

Теперь дифференцируя и преобразуя получаем дифференциальное уравнение второго порядка:

Подставим известные константы и получим:

5. Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:
к нулю. Постоянная времени и квазипериод колебания временных характеристик совпадают с результатами, полученными из анализа операторного коэффициента передачи; АЧХ рассматриваемой цепи близка к АЧХ идеального фильтра нижних частот с граничной частотой .

Список использованной литературы

1. Попов В.П. Основы теории цепей: Учебник для вузов - 4-ое изд., испр. - М.: Высш. шк., 2003. - 575с.: ил.

Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 1973, 832 с.

ВОЕННАЯ
АКАДЕМИЯ
СВЯЗИ
2 кафедра
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
по учебной дисциплине
«Электроника, электротехника и схемотехника»
Тема № 4 Режим негармонических воздействий в
линейных электрических цепях
Занятие № 17 «Расчет временных характеристик
линейных электрических цепей»
Санкт-Петербург

УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Анализ временных характеристик линейных
электрических цепей.
2. Контроль усвоения изученного материала.
ЛИТЕРАТУРА:
Бабкова Л.А., Киселев О.Н. Методические рекомендации к
практическим занятиям и руководство к лабораторным работам по
дисциплине «Основы теории цепей»: Учеб.пособие.– СПб.: ВАС, 2011.
2. Улахович Д.А. Основы теории линейных электрических цепей:
Учеб.пособие. – СПб.: БХВ-Петербург, 2009.
1.

Задача 1

1. Анализ временных характеристик линейных
электрических цепей.
Задача 1
Найти импульсную и переходную характеристики электрического
фильтра нижних частот с максимально плоской АЧХ, если известна
передаточная функция:
1
H (p) 2
.
p 2 p 1

1
h (p) H (p).
p
h (p)
1
p(p 2 p 1)
2
.

2. Определим изображение импульсной характеристики:
g (p) H (p).
Таким образом изображение импульсной характеристики будет
иметь вид:
g (p)
1
p 2 p 1
2
.
Воспользовавшись таблицей соответствий определяем графическое
изображение переходной и импульсной характеристик:

Переходная характеристика
h (p)
1
p(p 2 2 p 1)
Рис1 . График f(t)
A
p(p 2 α1 p α2)

Импульсная характеристика

g (p)
1
p2 2 p 1
A
p 2 α1 p α2

Задача 2

Найти импульсную и переходную характеристики цепи, если известна
ее передаточная функция:
181,8 p
H (p) 2
p 1091 p 1,818 106
1. Определим изображение переходной характеристики
1
h(p) H (p)
p
2. Определим изображение импульсной характеристики:
g (p) H (p).
181,8 p
g (p) 2
p 1091 p 1,818 106

Переходная характеристика
181,1
h(p) 2
p 1091 p 1,818 106
A
2
p α1 p α2

Импульсная характеристика

181,8 p
g (p) 2
6
p 1091 p 1,818 10
Ap
p 2 α1 p α2

Задача 3 Определить переходные и импульсные характеристики цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R и C.

1. Найдем передаточные функции данной цепи для
представленных реакций:
uc (p)
Н1 (p)
;
u1 (p)
uR (p)
Н 2 (p)
.
u1 (p)

2. Найдем значение реакции на элементах С и R.

1
u1 (p)
1
u1 (p)
uc (p) i (p)
;
pC R 1 pC pRC 1
pC
u1 (p)
u1 (p) pRC
uR (p) i(p) R
R
.
1
pRC
1
R
pC

3.Передаточная функция в операторной форме:

1
H1 (p)
;
pRC 1
pRC
H 2 (p)
.
pRC 1
4. Найдем изображения переходных характеристик:
H1 (p)
1
hC (p)
p
p (pRC 1)
1
RC
1
p p
RC
H 2 (p)
RC
1
h R (p)
.
p
pRC 1 p 1
RC
;

4. Изображение импульсных характеристик находим по соотношению:

g (p) H (p)
1
1
g C (p) H1 (p)
RC ;
pRC 1 p 1
RC
1
pRC
1
g R (p) H 2 (p)
1
1 RC .
1
pRC 1
pRC 1
p
RC

Спасибо за внимание!

Допустим, что к цепи приложено ступенчатое воздействие, изображение которого является функция

Допустим, что к цепи приложено ступенчатое воздействие
изображение которого является функция A
p
х(t) A 1(t)
.
x (t)
0 при t 0;
x(t)
A при t 0.
A
t
0
Рис. 1. Ступенчатое воздействие
Тогда операторная передаточная функция будет иметь вид:
y (p) y (p)
y (p)
H (p)
p
.
A
x (p)
A
p
(10)
,

Осуществляя L-преобразование выражения (7), т.е. найдем L-изображение переходной характеристики. В силу свойства линейности

Осуществляя L-преобразование выражения (7), т.е. найдем Lизображение переходной характеристики. В силу свойства линейности
преобразования Лапласа получаем:
1
h (p) T (p).
p
(11)
Это выражение совпадает со вторым сомножителем правой части (10)
и, следовательно, между операторной передаточной функцией и
изображением переходной характеристики h (p) имеется следующая
взаимосвязь:
H (p) ph (p);
1
h (p) T (p).
p
(12)
(13)
Аналогично установим связь между H (p) и изображением
импульсной характеристики g (p) :
y (t)
g (p)
;
Sи

Если же на цепь подается импульсное воздействие, изображение которого равно, то операторная передаточная функция,

Если же на цепь подается импульсное воздействие х(t) Sи (t) ,
изображение которого х (p) равно
, то операторная передаточная
и
функция, соответствующая этому воздействию, имеет вид:
S
y (p) y (p)
H (p)
.
х (p)
Sи
(14)
Это выражение совпадает с функцией изображения импульсной
характеристики цепи. Следовательно,
g (p) H (p).
(15)

Рассмотрим связь между переходной и импульсной характеристиками
цепи. Не трудно заметить, что их изображения связаны соотношением
g (p) ph (p).
Проведя тождественное преобразование последнего равенства
(прибавив
h(0) h(0)) получим:
g (p) ph (p) h(0) h(0).
ph(p) h(p)
Поскольку
представляет собой изображение
произвольной переходной характеристики, то исходное равенство
можно представить в виде
g (p) h(0) L h / (t) .
Переходя в область оригиналов, получаем формулу, позволяющую
определить импульсную характеристику цепи по известной
ее
переходной характеристике, g (t) h(0) (t) h (t).
g
t
h
(t).
Если h(0) 0 , то
Обратное соотношение между указанными характеристиками имеет
t
вид:
h(t) g (t)dt.
0
(15)

3. Связь между временными и частотными
характеристиками цепи
e t
Для данной цепи определить операторную
передаточную функцию и найти выражения
для ее частотных характеристик
C
C
R
u1 (t) R
u2 (t)
и2 (p)
H (p)
.
e (p)
Рис. 5. Схема RC-цепи
Изображение реакции u2 (p) определим из системы узловых
уравнений, составленных для L-изображений узловых напряжений
u1 (p); u2 (p) :
(2 pC G)u1 (p) pCu2 (p) pCe(p);
pCu1 (p) (pC G)u2 (p) 0.

Отсюда

e (p) p 2
u2 (p)
;
2
G G
2
p 3p 2
C C
2
p
H (p) 2
2
p 3 p
где для упрощения записи введено обозначение
G
.
C
Для нахождения комплексной передаточной функции положим в
последнем выражении p j . Тогда
H (j) 2
.
2
() j3
2

АЧХ определяется модулем полученной функции, а ФЧХ находим
как аргумент
H (j).
H (j)
2
(2 2) 9 2 2
H j
3
() arctg 2
(2)
1
0
а
0
б
Рис. 6. Графики частотных характеристик RC-цепи: а – АЧХ, б – ФЧХ

ВЫВОДЫ:
1. Передаточная функция является L-изображением импульсной характеристики.
2. Передаточная
функция
является
дробно-рациональной
функцией
с
вещественными коэффициентами.
3. Полюсы устойчивой передаточной функции лежат в левой р-полуплоскости.
4. Степени полиномов числителей передаточной функции и квадрата АЧХ не
превышают степеней полиномов знаменателей; при невыполнении этого
свойства АЧХ на бесконечно больших частотах (ω → ∞) должна принимать
бесконечно большое значение, поскольку числитель в этом случае растёт
быстрее знаменателя.
5. Частотные характеристики цепи вычисляются по передаточной функции при
p = jω.
6. Квадрат АЧХ является чётной рациональной функцией переменной с
вещественными коэффициентами: H(jω) 2 = H(–jω) 2 .
7. По передаточной функции можно изобразить схему цепи.

.
Вопрос №1 а. Свободные колебания в
последовательном колебательном контуре.
В момент t=0 произошла коммутация,
т.е. ключ (Кл.) из положения 1 перешел в
положение 2.
Заряженная емкость оказалась
подключенной к RL-цепи.
Рассмотрим процессы происходящие в представленной цепи до коммутации
До коммутации емкость С была подключена
параллельно источнику постоянного напряжения Е,
(ключ (Кл.) находился в положении 1).
Напряжение на емкостях равнялось Е.
uC(+0) = uC(-0) = E;
iL(+0) = iL(-0) = 0.

Рассмотрим процессы происходящие в цепи после коммутации
Учитывая, что напряжение на емкости
скачком измениться не может, в соответствии с законом коммутации имеем:
uC(+0) = uC(-0) = E
Начальные условия НЕНУЛЕВЫЕ
Рассмотрим схему замещения цепи для момента времени
По закону Ома в операторной форме,
определим изображение реакции:
E
p
E
E
L
L
i (p)
2
,
2
1
R
1
p 2 p 0
pL R
p2 p
pC
L
LC
где:
0
R

2L
1
LC
-круговая частота собственных колебаний контура без потерь.

При анализе свободных и переходных колебаний в сложных цепях
изображение реакции y (p) представляет собой дробно-рациональную функцию
переменного p с вещественными коэффициентами, которую можно записать в
виде отношения двух полиномов:
M (p) bm p m bm 1 p m 1 bm 2 p m 2 ... b0
y (p)
N (p)
p n a n 1 p n 1 a n 2 p n 2 ... a 0
По основной теореме алгебры полином степени n может быть разложен на n
простых сомножителей, т.е.:
N(p) = (p-p1) (p-p2),…, (p-pn),
где p1, p2, p3,…,pn – корни полинома N(p) или полюсы функции y (p) .
Полином также можно представить в виде произведения m сомножителей:
M(p) = (p-p01) (p-p02) (p-p03),…,(p-p0m).
где p01, p02, p03,…,p0m - корни полинома М(p) или нули функции y (p) .
В силу вещественности коэффициентов ai и bi нули и полюсы изображения y (p)
могут быть вещественными и (или) комплексно-сопряженными.
Ясно, что дислокация полюсов y (p) определяет характер свободных и
переходных колебаний в анализируемой цепи.

Рассмотрим уравнение:
p 2 2 p 02
Оно имеет два корня, (полюсы изображения):
p1,2 2 02
В силу вещественности коэффициентов данного уравнения (δ, ω), полюсы
могут быть вещественные и комплексно-сопряженные.
Поэтому при анализе свободных колебаний в последовательном контуре
возможны три режима колебаний.

Корни уравнения комплексно-сопряженные:
p1,2 j 1
где:
1 02 2 .
такой характер корней имеет место при 0
или R 2
L
.
C
Оригинал для тока в
этом случае будет:
E t
i(t)
e sin 1t ,
1 L

Амплитуда колебания убывает во времени по экспоненциальному закону,
поэтому процесс называют затухающим. Скорость убывания амплитуды
свободных колебаний определяется значением коэффициента затухания δ.
2
Частоту: 1 02 2 0 1 называют частотой собственных
0
затухающих колебаний контура. Она, как видно из формулы, всегда меньше
частоты собственных незатухающих колебаний контура w0 и зависит не только от
значений индуктивности и емкости контура, но и от значения его резистивного
сопротивления.
Период затухающих колебаний:
T
2
2
0
2
.
Коэффициент затухания связан с добротностью контура соотношением:
где: Q
R 0
.
2 L 2Q
0 L
- добротность последовательного контура.
R
Таким образом, колебания в контуре убывают тем медленнее, чем выше его
добротность.

2. Критический режим гармонических колебаний.

p1 p2 ,
.e. 0 ; R 2
T
L
.
C
Режим колебания в контуре, соответствующий кратным корням
характеристического уравнения (полюсами изображения), может
рассматриваться как предельный случай колебательного режима,
когда частота собственных затухающих колебаний в контуре
нулю, а период колебаний становится
1 02 2 равна
бесконечно большим.

имеет вид:
E0 t
i(t)
te
L

Корни уравнения вещественные кратные:
p1,2 ,
где: 2 02 ; .
Первичные
параметры
контура
должны
удовлетворять неравенству:
L
R 2
.
C
Оригинал i(t), соответствующий данному расположению полюсов изображения,
имеет вид:
E
E
i (t)
L(p1 p2)
e p1t
L(p1 p2)
e p2t

Вопрос №1 б. Переходные колебания в последовательном
колебательном контуре.
Начальные условия НУЛЕВЫЕ
E
E
E
p
L
L
i(p)
2
;
2
1
R
1
p
2
p
0
pL R
p2 p C
pC
L
L
uC (p) i(p)
По таблице соответствий:
uC (t) E Ee (cos 1t sin 1t).
1
t
Напряжение на емкости контура
при t→∞ стремится к установившемуся значению, равному
напряжению источника. Следовательно, емкость при t→∞ заряжается до напряжения Е. Процесс
заряда при комплексно-сопряженных полюсах изображения
имеет колебательный характер.
1
LC
.
2
2
pC p(p 2 p 0)

Значение uC(t) в отдельные моменты времени превышают значения напряжения при большой добротности может почти вдвое превосходить ЭДС источника.
При t→∞ значения тока в контуре, напряжений на резистивном элементе и на
индуктивности контура стремятся к нулю, а напряжение на емкости - к ЭДС
источника. Следовательно, цепь переходит в режим постоянного тока. Процесс
установления колебаний происходит тем медленнее, чем выше добротность
контура. Для оценки времени установления можно воспользоваться полученной
ранее формулой:
ty
3 4, 6
,
что соответствует промежутку времени, по истечении которого амплитуда напряжения uC(t) отклоняется от установившегося значения не более чем на 0,05 или 0,01.
Вопрос №2 Свободные и переходные колебания в
параллельном колебательном контуре.
2.1 Свободные колебания в ПрКК
Начальные условия НЕНУЛЕВЫЕ
iL(+0) = iL(-0) = I0
uC(+0) = uC(-0) = u0

I0
Cu0
p
I0
u0 p
C ,
u (p)
2
2
1
p
2
p
0
pC G
pL
G
- коэффициент затухания контура;
2C
1
0
- частота собственных колебаний контура без потерь.
LC
где:
1. Режим затухающих гармонических колебаний.
Первичные параметре контура в этом случае должны удовлетворять неравенству:
G
2C
1
LC
Закон изменения напряжения на контуре в соответствии с таблицей соответствий определяется выражением:
I0
u
0
t
C
u (t) e u0 cos 1t
sin 1t
1

Анализ полученного решения показывает, что
колебания носят затухающий характер, причем
амплитуда
колебания
убывает
по
экспоненциальному закону. Чем больше
коэффициент затухания, тем быстрее затухают
колебания. Как и в последовательном контуре,
частота свободных колебаний:
1 0 1
0
2
0
2
2
всегда меньше частоты собственных незатухающих колебаний контура
2. Критический режим гармонических колебаний.
Такой характер корней имеет место при δ=ω0, когда между первичными параметрами контура выполняется соотношение:
G
2C
1
LC
I0
t
u (t) u0 u0 t e
C

3. Апериодический режим гармонических колебаний.
Этот случай возможен при условии δ=ω0, что соответствует следующему
соотношению между первичными параметрами контура:
G 2
C
.
L
I0
I0
u 0 p1
u0 p2
u (t) C
e p1t C
e p2t
p 2 p1
p 2 p1
Следует заметить, что при G=0 колебания в контуре носят незатухающий характер,
так как контур не рассеивает энергию.

2.2 Переходные колебания в ПрКК
Используя закон Ома в операторной форме, найдем изображения для всех
реакций:
I
p
I
I
C
u (p)
2 C
;
2
1
G
1
p 2 p 0
pC G
p2 p
LC
C
LC
I
G
C
iG (p) u (p)G 2
;
2
p 2 p 0
I
u (p)
LC
iL (p)
;
2
2
pL
p (p 2 p 0)
iC (p) u (p) pC
Ip
.
2
2
p 2 p 0

Закон изменения напряжения в параллельном
колебательном
контуре
аналогичен
закону
изменения тока в последовательном контуре.
Определим временную зависимость тока iC(t).
iC (t) Ie
p
(cos 1t sin 1t).
1
Так как при t=0 напряжение на емкости было равно нулю, то для этого момента
времени следует считать зажимы емкости замкнутыми накоротко. Следовательно,
в момент t=+0 весь ток I протекал через емкость (iC(+0))=I. При t→∞ цепь
переходят в режим постоянного тока, при котором u(∞)=0, iL(∞)=I, iG(∞)=iC(∞)=0.
Чем ниже добротность (больше затухание) контура, тем быстрее заканчивается
переходный процесс.

Ранее мы рассматривали частотные характеристики, а временные характеристики описывают поведение цепи во времени при заданном входном воздействии. Таких характеристик всего две: переходная и импульсная.

Переходная характеристика

Переходная характеристика - h(t) - есть отношение реакции цепи на входное ступенчатое воздействие к величине этого воздействия при условии, что до него в цепи не было ни токов, ни напряжений.

Ступенчатое воздействие имеет график:

1(t) - единичное ступенчатое воздействие.

Иногда используют ступенчатую функцию, начинающуюся не в момент «0»:

Для расчёта переходной характеристики к заданной цепи подключают постоянный ЭДС (если входное воздействие - напряжение) или постоянный источник тока (если входное воздействие - ток) и рассчитывают заданный в качестве реакции переходный ток или напряжение. После этого делят полученный результат на величину источника.

Пример: найти h(t) для u c при входном воздействии в виде напряжения.

Пример : ту же задачу решить при входном воздействии в виде тока

Импульсная характеристика

Импульсная характеристика - g(t) - есть отношение реакции цепи на входное воздействие в виде дельта - функции к площади этого воздействия при условии, что до подключения воздействия в схеме не было ни токов, ни напряжений.

д(t) - дельта-функция, дельта-импульс, единичный импульс, импульс Дирака, функция Дирака. Это есть функция:

Рассчитывать классическим методом g(t) крайне неудобно, но так как д(t) формально является производной, то найти её можно из соотношения g(t)=h(0)д(t) + dh(t)/dt.

Для экспериментального определения этих характеристик приходится действовать приближённо, то есть создать точное требуемое воздействие невозможно.

На вход падают последовательность импульсов, похожих на прямоугольные:

t ф - длительность переднего фронта (время нарастания входного сигнала);

t и - длительность импульса;

К этим импульсам предъявляют определённые требования:

а) для переходной характеристики:

T паузы должно быть таким большим, чтобы к моменту прихода следующего импульса переходный процесс от окончания предыдущего импульса практически заканчивался;

T и должно быть таким большим, чтобы переходный процесс, вызванный возникновением импульса, тоже практически успевал заканчиваться;

T ф должно быть как можно меньше (так, чтобы за t ср состояние цепи практически не менялось);

X m должна быть с одной стороны такой большой, чтобы с помощью имеющейся аппаратуры можно было бы зарегистрировать реакцию цепи, а с другой: такой маленькой, чтобы исследуемая цепь сохраняла свои свойства. Если всё это так, регистрируют график реакции цепи и изменяют масштаб по оси ординат в X m раз (X m =5В, ординаты поделить на 5).

б) для импульсной характеристики:

t паузы - требования такие же и к X m - такие же, к t ф требований нет (потому что даже сама длительность импульса t ф должна быть такой малой, чтобы состояние цепи практически не менялось. Если всё это так, регистрируют реакцию и изменяют масштаб по оси ординат на площадь входного импульса.

Итоги по классическому методу

Основным достоинством является физическая ясность всех используемых величин, что позволяет проверять ход решения с точки зрения физического смысла. В простых цепях удаётся очень легко получить ответ.

Недостатки: по мере возрастания сложности задачи быстро нарастает трудоёмкость решения, особенно на этапе расчёта начальных условий. Не все задачи удобно решать классическим методом (практически никто не ищет g(t), и у всех возникают проблемы при расчёте задач с особыми контурами и особыми сечениями).

До коммутации, .

Следовательно, по законам коммутации u c1 (0) = 0 и u c2 (0) = 0, но из схемы видно, что сразу после замыкания ключа: E= u c1 (0)+u c2 (0).

В таких задачах приходится применять особую процедуру поиска начальных условий.

Эти недостатки удаётся преодолеть в операторном методе.

Единичные функции и их свойства. Важное место в теории линейных цепей занимает исследование реакции этих цепей на идеализированные внешние воздействия, описываемые так называемыми единичными функциями.

Единичной ступенчатой функцией (функцией Хевисайда) называется функция

График функции 1(7 - (0) имеет вид ступеньки или скачка, высота которого равна единице (рис. 6.16, а). Скачок такого типа будем называть единичным. При t 0 = Q для единичной ступенчатой функции используют обозначение 1(0 (рис. 6.16, б).

В связи с тем, что произведение любой ограниченной функции времени f(t ) па 1 (t - t 0) равно нулю при t и равно /(0 при t > t 0:

функцию Хевисайда l(f - t 0) удобно использовать для аналитического представления различных внешних воздейст-

Рис. 6.16.

При подключении цепи к источнику постоянного тока или напряжения внешнее воздействие на цепь

где to - момент коммутации.

Внешнее воздействие такого вида называется неединичным скачком. Используя функцию Хевисайда, выражение (6.95) можно представить в виде

Если при t = ?о в цепь включается источник гармонического тока или напряжения

то внешнее воздействие на цепь можно представить в виде

Если внешнее воздействие на цепь в момент времени t = t§ скачкообразно изменяется от одного фиксированного значения Х { до другого Х 2 , то

Внешнее воздействие на цепь, имеющее форму прямоугольного импульса высотой X и длительностью t u (рис. 6.17, а ), можно представить в виде разности двух одинаковых скачков

сдвинутых во времени на? и (рис. 6.17, б, в):

Рис. 6.17.

Рис. 6.18.

Рассмотрим прямоугольный импульс длительностью At и высотой Х/At (рис. 6.18, а). Очевидно, что площадь этого импульса равна единице и не зависит от At. При уменьшении длительности импульса его высота возрастает, причем при At -*? 0 она стремится к бесконечности, но площадь импульса остается равной единице. Импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой высоты, площадь которого равна единице, будем называть единичным импульсом.

Функция, определяющая единичный импульс, обозначается 5(t - to) и называется 5-функцией или функцией Дирака". Таким образом,

При? 0 = 0 для 5-функции используется обозначение 5(t). При построении временны х диаграмм функции б(t - to) и 8(t) будем изображать в виде вертикальной стрелки со значком 00 около острия (рис. 6.18, б, в).

Для установления связи между 5-функцией и единичной ступенчатой функцией воспользуемся выражением (6.96). Полагая X = 1 /At и устремляя At к нулю, получаем

Таким образом, 8-функция представляет собой производную от единичной ступенчатой функции, а единичная ступенчатая функция - интеграл от 8-функции.

Строгое обоснование операций над единичными функциями, в том числе операции дифференцирования единичной ступенчатой функции, дано в теории обобщенных функций. Для качественного обоснования таких операций функции 1(7: - / 0) и 6(7 - t 0) удобно представить в качестве предельных значений некоторых более простых функций, для которых соответствующие операции являются определенными. Рассмотрим, например, функцию.гДГ) (рис. 6.19, а), удовлетворяющую условиям

Производная функции X(t) по времени (рис. 6.19, б) имеет вид прямоугольного импульса длительностью At и высотой 1 /Дt:

При At -*? 0 функция X(t) вырождается в единичную ступенчатую функцию, а функция dx { (t)/dt - в б-функцию:

откуда следует, что

Рис. 6.19.

При выполнении различных операций над единичными функциями момент коммутации t Q удобно расчленять на три различных момента: ? 0 _ -момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, ? 0 - собственно момент коммутации и? ()+ - момент времени, следующий непосредственно после коммутации. С учетом этого из условия (6.98) можно получить

В общем случае

Произведение произвольной ограниченной функции времени /(?) на 8(? - ? 0)

Условиям (6.103) удовлетворяет также произведение f(t 0)6(t - ?о)> следовательно,

Из выражений (6.102) и (6.104) следует, что интеграл от произведения произвольной ограниченной функции /(?) на 6(1: - tg) равен либо значению этой функции при t = to (если точка to принадлежит интервалу интегрирования), либо нулю (если точка? 0 не принадлежит интервалу интегрирования):

Таким образом, с помощью 5-функции можно выделять значения функции/(?) в произвольные моменты времени? 0 - Эту особенность 8-функции обычно называют фильтрующим свойством.

Для определения реакции линейных электрических цепей на внешнее воздействие в виде единичного скачка или единичного импульса необходимо найти изображения единичных функций но Лапласу. Используя рассмотренные свойства единичных функций, получаем

При t 0 = 0 операторные изображения единичных функций имеют особенно простой вид:

• Более строгое определение 5-функции см., например, в работе .

Приведенные в предыдущем параграфе выражения (5.17), (5.18) для коэффициентов усиления можно трактовать как передаточные функции линейного активного четырехполюсника. Характер этих функций определяется частотными свойствами параметров Y.

Записав в виде функций , приходим к понятию передаточная функция линейного активного четырехполюсника . Безразмерная в общем случае комплексная функция является исчерпывающей характеристикой четырехполюсника в частотной области. Она определяется в стационарном режиме при гармоническом возбуже-нии четырехполюсника.

Передаточную функцию часто удобно представлять в форме

Модуль иногда называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) четырехполюсника. Аргумент называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) четырехполюсника.

Другой исчерпывающей характеристикой четырехполюсника является его импульсная характеристика , которая используется для описания цепи во временной области.

Для активных линейных цепей, как и для пассивных, под импульсной характеристикой цепи подразумевается отклик, реакция цепи на воздействие, имеющее вид единичного импульса (дельта-функции). Связь между нетрудно установить с помощью интеграла Фурье.

Если на входе четырехполюсника действует единичный импульс (дельтафункция) ЭДС со спектральной плотностью, равной единице для всех частот, то спектральная плотность выходного напряжения равна просто . Отклик на единичный импульс, т. е. импульсная характеристика цепи, легко определяется с помощью обратного преобразования Фурье, примененного к передаточной функции :

При этом необходимо учитывать, что перед правой частью этого равенства имеется множитель 1 с размерностью площади дельта-функции. В частном случае, когда имеется в виду б-импульс напряжения, эта размерность будет [вольт х секунда].

Соответственно функция является преобразованием Фурье импульсной характеристики:

В данном случае перед интегралом имеется в виду множитель единица с размерностью [вольт х секунда]^-1.

В дальнейшем импульсную характеристику будем обозначать функцией , под которой можно подразумевать не только напряжение, но и любую другую электрическую величину, являющуюся откликом на воздействие в виде дельта-функции.

Как и при представлении сигналов на плоскости комплексной частоты (см. § 2.14), в теории цепей широко распространено понятие передаточной функции рассматриваемой как преобразование Лапласа от функции 8