Общая схема математического моделирования. Основные подходы к построению математических моделей систем. Условные цвета, условное контрастирование

Математические схемы моделирования систем

Достоинства и недостатки имитационного моделирования

Основные достоинства имитационного моделирования при исследовании сложных систем:

· возможность исследовать особенности процесса функционирования системы S в любых условиях;

· за счет применения ЭВМ существенно сокращается продолжительность испытаний по сравнению с натурным экспериментом;

· результаты натурных испытаний реальной системы или ее частей можно использовать для проведения имитационного моделирования;

· гибкость варьирования структуры, алгоритмов и параметров моделируемой системы при поиске оптимального варианта системы;

· для сложных систем – это единственный практически реализуемый метод исследования процесса функционирования систем.

Основные недостатки имитационного моделирования:

· для полного анализа характеристик процесса функционирования систем и поиска оптимального варианта требуется многократно воспроизводить имитационный эксперимент, варьируя исходные данные задачи;

· большие затраты машинного времени.

Эффективность машинного моделирования. При моделировании необходимо обеспечить максимальную эффективность модели системы. Эффективность обычно определяется как некоторая разность между какими-то показателями ценности результатов, полученных при эксплуатации модели, и теми затратами, которые были вложены в ее разработку и создание.

Эффективность имитационного моделирования может оцениваться рядом критериев:

· точностью и достоверностью результатов моделирования,

· временем построения и работы с моделью М ,

· затратой машинных ресурсов (время и память),

· стоимостью разработки и эксплуатации модели.

Наилучшей оценкой эффективности является сравнение полученных результатов с реальными исследованиями. С помощью статистического подхода с определенной степенью точности (в зависимости от числа реализаций машинного эксперимента) получают усредненные характеристики поведения системы.

Суммарные затраты машинного времени складываются из времени по вводу и выводу по каждому алгоритму моделирования, времени на проведение вычислительных операций, с учетом обращения к оперативной памяти и внешним устройствам, а также сложности каждого моделирующего алгоритма и планирования экспериментов.

Математические схемы. Математическая модель – это совокупность математических объектов (чисел, переменных, множеств, векторов, матриц и т.п.) и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства создаваемого технического объекта. Процесс формирования математической модели и использования ее для анализа и синтеза называется математическим моделированием.

При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регулируется, в основном, выбором границы «система S – среда Е ». Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить в зависимости от цели моделирования основные свойства системы, отбросив второстепенные.

При переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды применяют математическую схему как звено в цепочке «описательная модель – математическая схема – математическая (аналитическая или (и) имитационная) модель».

Формальная модель объекта. Модель объекта (системы S ) можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы:

· совокупность входных воздействий на систему

x i = X , i = ;

· совокупность воздействий внешней среды

v j = V , j = ;

· совокупность внутренних (собственных) параметров систем

h k = H, k = ;

· совокупность выходных характеристик системы

y j = Y, j = .

В общем случае x i , v j , h k , y j являются элементами непересекающихся подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.

Входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными ) переменными, которые в векторной форме имеют соответственно вид (t ) = (x 1 (t ), x 2 (t ), …, x nX (t )); (t ) = (v 1 (t ), v 2 (t ), …, v nV (t )); (t ) = (h 1 (t ), h 2 (t ), …, h nН (t )), а выходные характеристики являются зависимыми (эндогенными ) переменными и в векторной форме имеют вид: (t ) = (у 1 (t ), у 2 (t ), …, у nY (t )). Можно выделить управляемые и неуправляемые переменные.

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором F S , который преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида

(t ) = F S (,,, t ). (2.1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени y j (t ) для всех видов j = называется выходной траекторией (t ). Зависимость (2.1) называется законом функционирования системы F S , который задается в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической, табличной формах или в виде словесного правила соответствия. Алгоритмом функционирования A S называется метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий (t ), воздействий внешней среды (t ) и собственных параметров системы (t ). Один и тот же закон функционирования F S системы S может быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования A S .

Математические модели называются динамическими (2.1), если математические соотношения описывают поведение объекта (системы) моделирования во времени t , т.е. отражают динамические свойства.

Для статических моделей математическая модель представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y и {X, V, H } в определенный момент, что в векторной форме может быть записано как

= f (, , ). (2.2)

Соотношения (2.1) и (2.2) могут быть заданы различными способами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т.д. Эти соотношения могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы S характеризуется векторами

" = (z" 1, z" 2, …, z" k ) и "" = (z"" 1 , z"" 2 , …, z"" k ),

где z" 1 = z 1 (t" ), z" 2 = z 2 (t" ), …, z" k = z k (t" ) в момент t" Î (t 0 , T ); z"" 1 = z 1 (t"" ), z"" 2 = z 2 (t"" ), …, z"" k = z k (t"" ) в момент t"" Î (t 0 , T ) и т.д. k = .

Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательную смену состояний z 1 (t ), z 2 (t ), …, z k (t ), то они могут быть интерпретированы как координаты точки в k -мерном фазовом пространстве . Причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний {} называется пространством состояний объекта моделирования Z , причем
z k Î Z .

Состояния системы S в момент времени t 0 < t* £ T полностью определяются начальными условиями 0 = (z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k ) [где z 0 1 = z 1 (t 0),
z 0 2 = z 2 (t 0), …, z 0 k = z k (t 0)], входными воздействиями (t ), внутренними параметрами (t ) и воздействиями внешней среды (t ), которые имели место в промежутке времени t* – t 0 , c помощью двух векторных уравнений

(t ) = Ф( 0 , , , , t ); (2.3)

(t ) = F(, t ). (2.4)

Первое уравнение по начальному состоянию 0 и экзогенным переменным , , определяет вектор-функцию (t ), а второе по полученному значению состояний (t ) – эндогенные переменные на выходе системы (t ). Таким образом, цепочка уравнений объекта «вход – состояния – выход» позволяет определить характеристики системы

(t ) = F[Ф( 0 , , , , t )]. (2.5)

В общем случае время в модели системы S может рассматриваться на интервале моделирования (0, Т ) как непрерывное, так и дискретное, т.е. квантованное на отрезки длиной Dt временных единиц каждый, когда T = m Dt , где m = – число интервалов дискретизации.

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных {(t ), (t ), (t )} вместе с математическими связями между ними и характеристиками (t ).

Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, т.е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды (t ) и стохастические внутренние параметры (t ) отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями

(t ) = f (, t ). (2.6)

Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

Типовые математические схемы. В практике моделирования объектов в области системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы : дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри, агрегативные системы и т.д.

Типовые математические схемы имеют преимущества простоты и наглядности. В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные, интегродифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени, конечные автоматы и конечно-разностные схемы. В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления систем с непрерывным временем – системы массового обслуживания. Для анализа причинно-следственных связей в сложных системах, где одновременно параллельно протекает несколько процессов, применяют сети Петри. Для описания поведения непрерывных и дискретных, детерминированных и стохастических систем (например АСОИУ) можно применять обобщенный (универсальный) подход на основе агрегативной системы. При агрегативном описании сложный объект (система) расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие частей.

Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (D -схемы); дискретно-детерминированный (F -схемы); дискретно-стохастический (Р -схемы); непрерывно-стохастический (Q -схемы); сетевой (N -схемы); обобщенный или универсальный (а -схемы).

2.2. Непрерывно-детерминированные модели (D -схемы)

Основные соотношения . Рассмотрим особенности непрерывно-детерминированного подхода на примере использования в качестве математических моделей дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одного или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных порядков. Если неизвестные функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями частных производных , иначе при рассмотрении функции одной независимой переменной уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями .

Математическое соотношение для детерминированных систем (2.6) в общем виде будет

" (t ) = (, t ); (t 0) = 0 , (2.7)

где " = d /dt , = (y 1 , y 2 , …, y n ) и = (f 1 , f 2 , …, f n ) – n -мерные векторы; (, t ) – вектор-функция, которая определена на некотором (n +1)-мерном (, t ) множестве и является непрерывной.

Математические схемы такого вида называются D-схемами (англ. dynamic), они отражают динамику изучаемой системы, и в качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, обычно служит время t .

В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид:

y" (t ) = f (y , t ). (2.8)

Рассмотрим простейший пример формализации процесса функционирования двух элементарных схем различной природы: механической S M (колебание маятника, рис.2.1, а ) и электрической S K (колебательный контур, рис.2.1, б ).

Рис. 2.1. Элементарные системы

Процесс малых колебаний маятника описывается обыкновенным дифференциальным уравнением

m M l M 2 (d 2 F (t )/dt 2) + m M gl M F (t ) = 0,

где m M , l M – масса и длина подвеса маятника; g – ускорение свободного падения; F (t ) – угол отклонения маятника в момент времени t .

Из этого уравнения свободного колебания маятника можно найти оценки интересующих характеристик. Например, период колебания маятника

T M = 2p.

Аналогично, процессы в электрическом колебательном контуре описываются обыкновенным дифференциальным уравнением

L K (d 2 q (t )/dt 2) + (q (t )/C K) = 0,

где L K , C K – индуктивность и емкость конденсатора; q (t ) – заряд конденсатора в момент времени t .

Из этого уравнения можно получить различные оценки характеристик процесса в колебательном контуре. Например, период электрических колебаний

T M = 2p.

Очевидно, что введя обозначения h 2 = m M l M 2 = L K , h 1 = 0,
h 0 = m M gl M = 1/C K , F (t ) = q (t ) = z (t ), получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее поведение этой замкнутой системы:

h 2 (d 2 z (t )/dt 2) + h 1 (dz (t )/dt ) + h 0 z (t ) = 0, (2.9)

где h 0 , h 1 , h 2 – параметры системы; z (t ) – состояние системы в момент
времени t .

Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели (2.9). Кроме того, необходимо отметить, что поведение маятника (системы S M) может быть изучено с помощью электрического колебательного контура (системы S К).

Если изучаемая система S (маятник или контур) взаимодействует с внешней средой Е , то появляется входное воздействие x (t ) (внешняя сила для маятника и источник энергии для контура), и непрерывно-детерминированная модель такой системы будет иметь вид:

h 2 (d 2 z (t )/dt 2) + h 1 (dz (t )/dt ) + h 0 z (t ) = x (t ). (2.10)

С точки зрения общей математической модели (см. п. 2.1) x (t ) является входным (управляющим) воздействием, а состояние системы S в данном случае можно рассматривать как выходную характеристику, т.е. выходная переменная совпадает с состоянием системы в данный момент времени y = z .

Возможные приложения D -схемы . Для описания линейных систем управления, как любой динамической системы, неоднородные дифференциальные уравнения имеют постоянные коэффициенты

где , ,…, – неизвестная функция времени и ее производные; и – известные функции.

Используя, например пакет программ VisSim, предназначенный для имитационного моделирования процессов в системах управления, которые можно описать дифференциальными уравнениями, промоделируем решение обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения

где – некоторая искомая функция времени на отрезке при нулевых начальных условиях, примем h 3 =1, h 2 =3, h 1 =1, h 0 =3:

Представив заданное уравнение относительно наивысшей из производных, получим уравнение

которое можно промоделировать, используя набор стандартных блоков пакета VisSim: арифметические блоки – Gain (умножение на константу), Summing-Junction (сумматор); блоки интегрирования – Integrator (численное интегрирование), Transfer Function (задание уравнения, представленного в виде передаточной функции); блоки задания сигналов – Const (константа), Step (единичная функция в виде «ступеньки»), Ramp (линейно нарастающий сигнал); блоки-приемники сигналов – Plot (отображение во временной области сигналов, которые анализируются исследователем в ходе моделирования).

На рис. 2.2 изображено графическое представление данного дифференциального уравнения. Входу крайнего левого интегратора соответствует переменная , входу среднего интегратора – , а входу крайнего правого интегратора – . Выход крайнего правого интегратора соответствует переменной y .

Частным случаем динамических систем, описываемых D -схемами, являются системы автоматического управления (САУ ) и регулирования (САР ). Реальный объект представляется в виде двух систем: управляющей и управляемой (объекта управления). Структура многомерной системы автоматического управления общего вида представлена на рис. 2.3, где обозначены эндогенные переменные: (t ) – вектор входных (задающих) воздействий; (t ) – вектор возмущающих воздействий; " (t ) – вектор сигналов ошибки; "" (t ) – вектор управляющих воздействий; экзогенные переменные: (t ) – вектор состояния системы S ; (t ) – вектор выходных переменных, обычно (t ) = (t ).

Рис. 2.2. Графическое представление уравнения

Управляющая система – это совокупность программно-технических средств, обеспечивающих достижение объектом управления определенной цели. Насколько точно объект достигает заданной цели, можно судить (для одномерной системы) по координате состояния y (t ). Разность между заданным y зад (t ) и действительным y (t ) законом изменения управляемой величины есть ошибка управления " (t ) = y зад (t ) – y (t ). Если предписанный закон изменения управляемой величины соответствует закону изменения входного (задающего) воздействия, т.е. x (t ) = y зад (t ), то " (t ) = x (t ) – y (t ).

Системы, для которых ошибки управления " (t ) = 0 во все моменты времени, называются идеальными . На практике реализация идеальных систем невозможна. Задачей системы автоматического управления является изменение переменной y (t ) согласно заданному закону с определенной точностью (с допустимой ошибкой). Параметры системы должны обеспечивать требуемую точность управления, а также устойчивость системы в переходном процессе. Если система устойчива, то анализируют поведение системы во времени, максимальное отклонение регулируемой переменной y (t ) в переходном процессе, время переходного процесса и т.п. Порядок дифференциального уравнения и значение его коэффициентов полностью определяются статическими и динамическими параметрами системы.

Рис. 2.3. Структура системы автоматического управления:

УC – управляющая система; OУ – объект управления

Таким образом, использование D -схем позволяет формализовать процесс функционирования непрерывно детерминированных систем S и оценить их основные характеристики, применяя аналитический или имитационный подход, реализованный в виде соответствующего языка для моделирования непрерывных систем или использующий аналоговые и гибридные средства вычислительной техники.

2.3. Дискретно-детерминированные модели (F -схемы)

Основные соотношения . Рассмотрим особенности дискретно-детерминированного подхода на примере использования в качестве математического аппарата теории автоматов. Система представляется в виде автомата как некоторого устройства с входными и выходными сигналами, перерабатывающего дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени. Конечным автоматом называется автомат, у которого множества внутренних состояний, входных и выходных сигналов являются конечными множествами.

Абстрактно конечный автомат (англ. finite automata) можно представить как математическую схему (F -схему ), характеризующуюся шестью элементами: конечным множеством Х входных сигналов (входным алфавитом); конечным множеством Y выходных сигналов (выходным алфавитом); конечным множеством Z внутренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состояний); начальным состоянием z 0 , z 0 Î Z ; функцией переходов j(z , x ); функцией выходов y(z , x ). Автомат, задаваемый F -схемой: F = áZ , X , Y , y, j, z 0 ñ, функционирует в дискретном времени, моментами которого являются такты, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и внутренние состояния. Обозначим состояние, а также входной и выходной сигналы, соответствующие t -му такту при t = 0, 1, 2, …, через z (t ), x (t ), y (t ). При этом по условию z (0) = z 0 , а z (t )ÎZ , x (t )ÎX , y (t )ÎY .

Абстрактный конечный автомат имеет один входной и один выходной каналы. В каждый момент t = 0, 1, 2, … дискретного времени F -автомат находится в определенном состоянии z (t ) из множества Z состояний автомата, причем в начальный момент времени t = 0 он всегда находится в начальном состоянии z (0) = z 0 . В момент t , будучи в состоянии z (t ), автомат способен воспринять на входном канале сигнал x (t )ÎX и выдать на выходном канале сигнал y (t ) = y[z (t ), x (t )], переходя в состояние z(t +1) = j[z (t ), x (t )], z (t )Î Z , y (t )ÎY . Абстрактный конечный автомат реализует некоторое отображение множества слов входного алфавита X на множество слов выходного
алфавита Y . Другими словами, если на вход конечного автомата, установленного в начальное состояние z 0 , подавать в некоторой последовательности буквы входного алфавита x (0), x (1), x (2), …, т.е. входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита y (0), y (1), y (2), …, образуя выходное слово.

Таким образом, работа конечного автомата происходит по следующей схеме: в каждом t -м такте на вход автомата, находящегося в состоянии z (t ), подается некоторый сигнал x (t ), на который он реагирует переходом (t +1)-го такта в новое состояние z (t +1) и выдачей некоторого выходного сигнала. Сказанное выше можно описать следующими уравнениями: для F -автомата первого рода, называемого также автоматом Мили ,

z (t +1) = j[z (t ), x (t )], t = 0, 1, 2, …; (2.15)

y (t ) = y[z (t ), x (t )], t = 0, 1, 2, …; (2.16)

для F -автомата второго рода

z (t +1) = j[z (t ), x (t )], t = 0, 1, 2, …; (2.17)

y (t ) = y[z (t ), x (t – 1)], t = 1, 2, 3,…. (2.18)

Автомат второго рода, для которого

y (t ) = y[z (t )], t = 0, 1, 2, …, (2.19)

т.е. функция выхода не зависит от входной переменной x (t ), называется автоматом Мура .

Таким образом, уравнения (2.15)-(2.19), полностью задающие
F -автомат, являются частным случаем уравнений (2.3) и (2.4), когда
система S – детерминированная и на её единственный вход поступает дискретный сигнал X .

По числу состояний различают конечные автоматы с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти (комбинационные или логические схемы) обладают лишь одним состоянием. При этом, согласно (2.16), работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в соответствие каждому входному сигналу x (t ) определенный выходной сигнал y (t ), т.е. реализует логическую функцию вида

y (t ) = y[ x (t )], t = 0, 1, 2, … .

Эта функция называется булевой, если алфавит X и Y , которым принадлежат значения сигналов x и y , состоят из двух букв.

По характеру отсчета дискретного времени конечные автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных F -автоматах моменты времени, в которые автомат «считывает» входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. После очередного синхронизирующего сигнала с учетом «считанного» и в соответствии с уравнениями (2.15)-(2.19) происходит переход в новое состояние и выдача сигнала на выходе, после чего автомат может воспринимать следующее значение входного сигнала. Таким образом, реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт, длительность которого определяется интервалом между соседними синхронизирующими сигналами. Асинхронный F -автомат считывает входной сигнал непрерывно и поэтому, реагируя на достаточно длинный входной сигнал постоянной величины x , он может, как следует из (2.15)-(2.19), несколько раз изменять состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдет в устойчивое, которое уже не может быть изменено данным входным сигналом.

Возможные приложения F -схемы. Чтобы задать конечный F -автомат, необходимо описать все элементы множества F = <Z , X , Y , y, j, z 0 >, т.е. входной, внутренний и выходной алфавиты, а также функции переходов и выходов, причем среди множества состояний необходимо выделить состояние z 0 , в котором автомат находится в состоянии t = 0. Существуют несколько способов задания работы F -автоматов, но наиболее часто используются табличный, графический и матричный.

В табличном способе задаются таблицы переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы – его состояниям. Первый слева столбец соответствует начальному состоянию z 0 . На пересечении i -й строки и k -го столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение j(z k , x i ) функции переходов, а в таблице выходов – соответствующее значение y(z k , x i ) функции выходов. Для F -автомата Мура обе таблицы можно совместить.

Описание работы F -автомата Мили таблицами переходов j и выходов y иллюстрируется табл. 2.1, а описание F -автомата Мура – таблицей переходов (табл. 2.2).

Таблица 2.1

X i	z k
z 0	z 1	…	z k
Переходы
x 1	j(z 0 , x 1)	j(z 1 , x 1)	…	j(z k , x 1)
x 2	j(z 0 , x 2)	j(z 1 , x 2)	…	j(z k , x 2)
…	…	…	…	…
x i	j(z 0 , x i )	j(z 1 , x i )	…	j(z k , x i )
Выходы
x 1	y(z 0 , x 1)	y(z 1 , x 1)	…	y(z k , x 1)
x 2	y(z 0 , x 2)	y(z 1 , x 2)	…	y(z k , x 2)
…	…	…	…	…
x i	y(z 0 , x i )	y(z 1 , x i )	…	y(z k , x i )

Таблица 2.2

x i	y(z k )
y(z 0)	y(z 1)	…	y(z k )
z 0	z 1	…	z k
x 1	j(z 0 , x 1)	j(z 1 , x 1)	…	j(z k , x 1)
x 2	j(z 0 , x 2)	j(z 1 , x 2)	…	j(z k , x 2)
…	…	…	…	…
x i	j(z 0 , x i )	j(z 1 , x i )	…	j(z k , x i )

Примеры табличного способа задания F -автомата Мили F 1 приведены в табл. 2.3, а для F -автомата Мура F 2 – в табл. 2.4.

Таблица 2.3

x i	z k
z 0	z 1	z 2
Переходы
x 1	z 2	z 0	z 0
x 2	z 0	z 2	z 1
Выходы
x 1	y 1	y 1	y 2
x 2	y 1	y 2	y 1

Таблица 2.4

	Y
x i	y 1	y 1	y 3	y 2	y 3
	z 0	z 1	z 2	z 3	z 4
x 1	z 1	z 4	z 4	z 2	z 2
x 2	z 3	z 1	z 1	z 0	z 0

При графическом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершины дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал x k вызывает переход из состояния z i в состояние z j , то на графе автомата дуга, соединяющая вершину z i c вершиной z j , обозначается x k . Для того чтобы задать функцию выходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходными сигналами. Для автоматов Мили эта разметка производится так: если входной сигнал x k действует на состояние z i , то получается дуга, исходящая из z i и помеченная x k ; эту дугу дополнительно отмечают выходным сигналом y = y(z i , x k ). Для автомата Мура аналогичная разметка графа такова: если входной сигнал x k , действуя на некоторое состояние автомата, вызывает переход в состояние z j , то дугу, направленную в z i и помеченную x k , дополнительно отмечают выходным
сигналом y = y(z j , x k ).

На рис. 2.4. а , б приведены заданные ранее таблицами F -автоматы Мили F 1 и Мура F 2 соответственно.

Рис. 2.4. Графы автоматов а – Мили и б – Мура

При матричном задании конечного автомата матрица соединений автомата квадратная С =||с ij ||, строки соответствуют исходным состояниям, а столбцы – состояния перехода. Элемент с ij = x k /y s , стоящий на пересечении
i -й строки и j -го столбца, в случае автомата Мили соответствует входному сигналу x k , вызывающему переход из состояния z i в состояние z j , и выходному сигналу y s , выдаваемому при этом переходе. Для автомата Мили F 1, рассмотренного выше, матрица соединений имеет вид:

x 2 / y 1 – x 1 / y 1

C 1 = x 1 / y 1 – x 2 / y 2 .

x 1 / y 2 x 2 /y 1 –

Если переход из состояния z i в состояние z j происходит под действием нескольких сигналов, элемент матрицы c ij представляет собой множество пар «вход-выход» для этого перехода, соединенных знаком дизъюнкции.

Для F -автомата Мура элемент с ij равен множеству входных сигналов на переходе (z i ,z j ), а выход описывается вектором выходов

= y(z k ) ,

i -я компонента которого – выходной сигнал, отмечающий состояние z i .

Для рассмотренного выше F -автомата Мура F2 матрицы соединений и вектор выходов имеют вид:

– x 1 – x 2 – у 1

– x 2 – – x 1 у 1

C 2 = – x 2 – – x 1 ; = у 3

x 2 – x 1 – – у 2

x 2 – x 1 – – у 3

Для детерминированных автоматов выполняется условие однозначности переходов: автомат, находящийся в некотором состоянии, под действием любого входного сигнала не может перейти более чем в одно состояние. Применительно к графическому способу задания F -автомата это означает, что в графе автомата из любой вершины не могут выходить два и более ребра, отмеченные одним и тем же входным сигналом. А в матрице соединений автомата С в каждой строке любой входной сигнал не должен встречаться более одного раза.

Для F -автомата состояние z k называется устойчивым, если для любого входа x i ÎX , для которого j(z k , x i ) = z k , имеет место j(z k ,x i ) = у k . F -автомат называется асинхронным, если каждое его состояние z k ÎZ устойчиво.

Таким образом, понятие в дискретно-детерминированном подходе к исследованию на моделях свойств объектов является математической абстракцией, удобной для описания широкого класса процессов функционирования реальных объектов в автоматизированных системах управления. С помощью F- автомата можно описать объекты, для которых характерно наличие дискретных состояний, и дискретный характер работы во времени – это элементы и узлы ЭВМ, устройства контроля, регулирования и управления, системы временной и пространственной коммутации в технике обмена информацией и т.д.

2.4. Дискретно-стохастические модели (Р -схемы)

Основные соотношения . Рассмотрим особенности построения математических схем при дискретно-стохастическом подходе на вероятностных (стохастических) автоматах. В общем виде вероятностный автомат
Р-схемы (англ. probabijistic automat) можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем, и может быть описано статистически.

Введем математическое понятие Р -автомата, используя понятия, введенные для F -автомата. Рассмотрим множество G , элементами которого являются всевозможные пары (x i , z s ), где x i и z s – элементы входного подмножества Х и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции j и y, что с их помощью осуществляются отображения G ®Z и G®Y, то говорят, что F = X, Y, j, y> определяет автомат детерминированного типа.

Рассмотрим более общую математическую схему. Пусть
Ф – множество всевозможных пар вида (z k , y i ), где у i – элемент выходного подмножества Y . Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

При этом b kj = 1, где b kj – вероятности перехода автомата в состояние z k и появления на выходе сигнала y j , если он был в состоянии z s и на его вход в этот момент времени поступил сигнал x i . Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множества G . Обозначим множество этих таблиц через В. Тогда четверка элементов P = называется вероятностным автоматом
(Р -автоматом).

Возможные приложения P -схемы. Пусть элементы множества G индуцируют некоторые законы распределения на подмножествах Y и Z , что можно представить соответственно в виде:

При этом z k = 1 и q j = 1, где z k и q j - вероятности перехода
Р -автомата в состояние z k и появления выходного сигнала y k при условии, что
Р z s и на его вход поступил входной сигнал x i .

Если для всех k и j имеет место соотношение q j z k = b kj , то такой
Р -автомат называется вероятностным автоматом Мили . Это требование означает выполнение условия независимости распределений для нового состояния Р -автомата и его выходного сигнала.

Пусть теперь определение выходного сигнала Р- автомата зависит лишь от того состояния, в котором находится автомат в данном такте работы. Другими словами, пусть каждый элемент выходного подмножества Y индуцирует распределение вероятностей выходов, имеющих следующий вид:

Здесь s i = 1, где s i – вероятность появления выходногосигнала y i при у словии, что Р -автомат находился в состоянии z k .

Если для всех k и i имеет место соотношение z k s i = b ki ,то такой
Р -автомат называется вероятностным автоматом Мура. Понятие
Р -автоматов Мили и Мура введено по аналогии с детерминированным
F -автоматом. Частным случаем Р- автомата, задаваемого как P =X, Y , B >, являются автоматы, у которых либо переход в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминированно. Если выходной сигнал
Р -автомата определяется детерминированно, то такой автомат называется
Y -. Аналогично,
Z -детерминированным вероятностным автоматом называется Р -автомат, у которого выбор нового состояния является детерминированным.

Пример 2.1. Пусть задан Y -детерминированный P -автомат

На рис. 2.5 показан ориентированный граф переходов этого автомата. Вершины графа сопоставляются состояниям автомата, а дуги – возможными переходами из одного состояния в другое. Дуги имеют веса, соответствующие вероятностям перехода p ij , а около вершин графа пишутся значения выходных сигналов, индуцируемых этими состояниями. Требуется оценить суммарные финальные вероятности пребывания этого P -автомата в состояниях z 2 и z 3 .

Рис. 2.5. Граф вероятностного автомата

При использовании аналитического подхода можно записать известные соотношения из теории марковских цепей и получить систему уравнений для определения финальных вероятностей. При этом начальное состояние z 0 можно не учитывать, так как начальное распределение не оказывает влияние на значения финальных вероятностей. Тогда имеем

где с k – финальная вероятность пребывания Р -автомата в состоянии z k .

Получаем систему уравнений

Добавим к этим уравнениям условие нормировки с 1 + с 2 + с 3 + с 4 = 1. Тогда, решая систему уравнений, получим с 1 = 5/23, с 2 = 8/23, с 3 = 5/23,
с 4 = 5/23. Таким образом, с 2 + с 3 = 13/23 = 0,5652. Другими словами, при бесконечной работе заданного в этом примере Y -детерминированного
Р -автомата на его выходе формируется двоичная последовательность с вероятностью появления единицы, равной 0,5652.

Подобные Р -автоматы могут использоваться как генераторы марковских последовательностей, которые необходимы при построении и реализации процессов функционирования систем S или воздействий внешней среды Е.

2.5. Непрерывно-стохастические модели (Q -схемы)

Основные соотношения . Особенности непрерывно-стохастического подхода рассмотрим на примере типовых математических Q- схем – систем массового обслуживания (англ. queueing system).

В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например: потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т.д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, т.е. стохастический характер процесса их функционирования.

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задается последовательностью {t n } = {0 £ t 1 £ t 2 ... £ t n £ … }, где t n – момент наступления п- го события – неотрицательное вещественное число. Однородный поток событий также может быть задан в виде последовательности промежутков времени между п- м и (n – 1)-м событиями {t n }, которая однозначно связана с последовательностью вызывающих моментов {t n }, где t n = t n – t n -1 , п ³ 1, t 0 = 0, т.е. t 1 = t 1 . Потоком неоднородных событий называется последовательность {t n , f n }, где t n – вызывающие моменты; f n – набор признаков события. Например, применительно к процессу обслуживания для неоднородного потока заявок может быть задана принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки. Это можно изобразить в виде некоторого i -го прибора обслуживания П i (рис. 2.6), состоящего из накопителя заявок H i , в котором может одновременно находиться j i = заявок, где L i H – емкость
i -гo накопителя, и канала обслуживания заявок (или просто канала) K i . На каждый элемент прибора обслуживания П i поступают потоки событий: в накопитель H i поток заявок w i , на канал K i - поток обслуживаний и i .

Рис. 2.6. Прибор обслуживания заявок

Заявки, обслуженные каналом K i , и заявки, покинувшие прибор П i по различным причинам необслуженными (например, из-за переполнения накопителя H i ), образуют выходной поток y i Î Y, т.е. интервалы времени между моментами выхода заявок образуют подмножество выходных переменных.

Обычно, поток заявок w i ÎW, т.е. интервалы времени между моментами появления заявок на входе K i , образует подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания u i ÎU, т.е. интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявки, образует подмножество управляемых переменных.

Процесс функционирования прибора обслуживания П i можно представить как процесс изменения состояний его элементоввовремени z i (t ). Переход в новое состояние для П i означает изменение количества заявок, которые в нем находятся (в канале K i и в накопителе H i ). Таким образом, вектор состояний для П i имеет вид: , где z i H – состояние накопителя H i (z i H = 0 – накопитель пуст, z i H = 1 – в накопителе имеется одна заявка, ..., z i H = L i H – накопитель полностью заполнен); L i H – емкость накопителя Н i , измеряемая числом заявок, которые в нем могут поместиться; z i k – состояние канала K i (z i k = 0 – канал свободен, z i k = 1 – канал занят).

Возможные приложения Q- схем. В практике моделирования систем, имеющих более сложные структурные связи и алгоритмы поведения, для формализации используются не отдельные приборы обслуживания, а
Q- схемы, образуемые композицией многих элементарных приборов обслуживания П i . Если каналы К i различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальная Q- схема), а если приборы П i и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание (многофазная Q- схема). Таким образом, для задания Q- схемы необходимо использовать оператор сопряжения R , отражающий взаимосвязь элементов структуры (каналов и накопителей) между собой.

16 Математические схемы моделирования систем.

Основные подходы к построению математических моделей системы. Непрерывно-детерминированные модели. Дискретно-детерминированные модели. Дискретно-стохастические модели. Непрерывно-стохастические модели. Сетевые модели. Комбинированные модели.

Основные подходы к построению математических моделей системы.

Исходной информацией при построении математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S.

Математические схемы

Отображаются реальные процессы в виде конкретных схем. Мат. схемы – переход от содержательного описания к формальному описанию системы с учетом воздействия окружающей среды.

Формальная модель объекта

Модель объекта моделирования,

т. е. системы S, можно представить в виде множества величин,

описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих

в общем случае следующие подмножества:

· совокупность входных воздействий на систему

х i ,еХ,(e -символ принадлежит) i =1; nx

· совокупность воздействий внешней среды

v l e V l=1;nv

· совокупность внутренних (собственных) параметров системы

hkeH k=1;nh

· совокупность выходных характеристик системы

yJeY j=1;ny

Можно выделить управляемые и неуправляемые переменные.

При моделировании систем входные воздействия, воздействия внешней среды и внутренние параметры содержат и детерминированные и стохастические составляющие.

входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными.

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором Fs, который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида:

y (t)=Fs(x ,v, h,t) – все с ве k торами.

Закон функционирования системы Fs может быть задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Понятие алгоритма функционирования As - метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий, воздействий внешней среды и собственных параметров системы.

Также вводятся состояния системы – свойства системы в конкретные моменты времени.

Совокупность всех возможных значений состояний составляют пространство состояний объекта.

Таким образом, цепочка уравнений объекта «вход - состояния - выход» позволяет определить характеристики системы:

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных {х (t),v (t), h (t)} вместе с математическими связями между ними и характеристиками у (t).

Типовые схемы

На первоначальных этапах исследования используются типовые схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри и т. д.

В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные, интегродифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени,- конечные автоматы и конечно-разностные схемы.

В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления системы с непрерывным временем - системы массового обслуживания и т. д.

Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения); дискретно-детерминированный (конечные автоматы); дискретно-стохастический (вероятностные автоматы); непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания); обобщенный, или универсальный (агрегативные системы).

Непрерывно-детерминированные модели

Рассмотрим особенности непрерывно детерминированного подхода на примере, используя в качестве Мат. моделей дифференциальные уравнения .

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной переменной или нескольких переменных, причём в уравнение входят не только их функции но их производные различных порядков.

Если неизвестные - функции многих переменных, то уравнения называются - уравнения в частных производных. Если неизвестные функции одной независимой переменной, то имеют место обыкновенные дифференциальные уравнения.

Математическое соотношение для детерминированных систем в общем виде:

Дискретно-детерминированные модели.

ДДМ являются предметом рассмотрения теории автоматов (ТА) . ТА - раздел теоретической кибернетики, изучающей устройства, перерабатывающие дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени.

Конечным автоматом называется автомат, у которого множество внутренних состояний и входных сигналов (а следовательно, и множество выходных сигналов) являются конечными множествами.

Конечный автомат имеет множество внутренних состояний и входных сигналов, являющихся конечными множествами. Автомат задаётся F- схемой: F=,

где z, x,y - соответственно конечные множества входных, выходных сигналов (алфавитов) и конечное множество внутренних состояний (алфавита). z0ÎZ - начальное состояние; j(z, x) - функция переходов; y(z, x) - функция выхода.

Автомат функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты, т. е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного, выходного сигнала и внутреннего состояния. Абстрактный автомат имеет один входной и один выходной каналы.

Для задания F - автомата необходимо описать все элементы множества F=, т. е. входной, внутренний и выходной алфавиты, а также функции переходов и выходов. Для задания работы F - автоматов наиболее часто используются табличный, графический и матричный способ.

В табличном способе задания используется таблицы переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы - его состояниям.

Описание работы F - автомата Мили таблицами переходов j и выходов y иллюстрируется таблицей (1), а описание F - автомата Мура - таблицей переходов (2).

Таблица 1

Переходы
…………………………………………………………
…………………………………………………………

Таблица 2

…………………………………………………………

Примеры табличного способа задания F - автомата Мили F1 с тремя состояниями, двумя входными и двумя выходными сигналами приведены в таблице 3, а для F - автомата Мура F2 - в таблице 4.

Таблица 3

Переходы

Таблица 4

При другом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершин дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал xk вызывает переход из состояния zi в состояние zj, то на графе автомата дуга, соединяющая вершину zi с вершиной zj обозначается xk. Для того, чтобы задать функцию переходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходными сигналами.

Рис. 1. Графы автоматов Мили (а) и Мура (б).

При решении задач моделирования часто более удобной формой является матричное задание конечного автомата. При этом матрица соединений автомата есть квадратная матрица С=|| cij ||, строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы - состояниям перехода.

Пример. Для рассмотренного ранее автомата Мура F2 запишем матрицу состояний и вектор выходов:

;

Дискретно-стохастические модели

Пусть Ф – множество всевозможных пар вида (zk, yi), где уi – элемент выходного

подмножества Y. Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал

на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

Элементы из Ф (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) b11 b1bK(J-1) bKJ

Информационные сети" href="/text/category/informatcionnie_seti/" rel="bookmark">обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т. д.

При этом характерным для

работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на

обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени,

т. е. стохастический характер процесса их функционирования.

Под СМО понимают динамическую систему, предназначенную для эффективного обслуживания случайного потока заявок при ограниченных ресурсах системы. Обобщённая структура СМО приведена на рисунке 3.1.

Рис. 3.1. Схема СМО.

Поступающие на вход СМО однородные заявки в зависимости от порождающей причины делятся на типы, интенсивность потока заявок типа i (i=1…M) обозначено li. Совокупность заявок всех типов - входящий поток СМО.

Обслуживание заявок выполняется m каналами.

Различают универсальные и специализированные каналы обслуживания. Для универсального канала типа j считается известными функции распределения Fji(t) длительности обслуживания заявок произвольного типа. Для специализированных каналов функции распределения длительности обслуживания каналов заявок некоторых типов являются неопределёнными, назначение этих заявок на данный канал.

Q - схемы можно исследовать аналитически и имитационными моделями. Последнее обеспечивает большую универсальность.

Рассмотрим понятие массового обслуживания.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки. Это можно отобразить в виде некоторого i-ого прибора обслуживания Пi, состоящего из накопителя заявок, в котором может находиться одновременно li=0…LiH заявок, где LiH - ёмкость i-ого накопителя, и канала обслуживания заявок, ki.

Рис. 3.2. Схема прибора СМО

На каждый элемент прибора обслуживания Пi поступают потоки событий: в накопитель Hi поток заявок wi, на канал ki - поток обслуживания ui.

Потоком событий (ПС) называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Однородный ПС характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задаётся последовательностью {tn}={0£t1£t2…£tn£…}, где tn - момент поступления n - ого события - неотрицательное вещественное число. ОПС может быть также задан в виде последовательности промежутков времени между n-ым и n-1-ым событиями {tn}.

Неоднородным ПС называется последовательность {tn, fn} , где tn - вызывающие моменты; fn- набор признаков события. Например, может быть задана принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т. п.

Заявки, обслуженные каналом ki и заявки, покинувшие прибор Пi по различным причинам не обслуженными, образуют выходной поток yiÎY.

Процесс функционирования прибора обслуживания Пi можно представить как процесс изменения состояний его элементов во времени Zi(t). Переход в новое состояние для Пi означает изменение кол-ва заявок, которые в нём находятся (в канале ki и накопителе Hi). Т. о. вектор состояний для Пi имеет вид: , где - состояния накопителя, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif" width="24 height=28" height="28">=1- в накопителе одна заявка…, =- накопитель занят полностью; - состояние канала ki (=0 - канал свободен, =1 канал занят).

Q-схемы реальных объектов образуются композицией многих элементарных приборов обслуживания Пi. Если ki различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальная Q-схема), а если приборы Пi и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание (многофазная Q-схема).

Для задания Q-схемы также необходимо описать алгоритмы её функционирования, которые определяют правила поведения заявок в различных неоднозначных ситуациях.

В зависимости от места возникновения таких ситуаций различают алгоритмы (дисциплины) ожидания заявок в накопителе Нi и обслуживания заявок каналом ki. Неоднородность потока заявок учитывается с помощью введения класса приоритетов – относительные и абсолютные приоритеты.

Т. о. Q‑схема, описывающая процесс функционирования СМО любой сложности однозначно задаётся в виде набора множеств: Q = .

Сетевые модели.

Для формального описания структуры и взаимодействия параллельных систем и процессов, а также анализа причинно-следственных связей в сложных системах используются сети Петри (англ. Petri Nets), называемые N-схемами.

Формально N-схема задается четверкой вида

N = ,

где В – конечное множество символов, называемых позициями, B ≠ O;

D – конечное множество символов, называемых переходами D ≠ O,

B ∩ D ≠ O; I – входная функция (прямая функция инцидентности)

I: B × D → {0, 1}; О – выходная функция (обратная функция инцидентности),

О: B × D → {0, 1}. Таким образом входная функция I отображает переход dj в

множество входных позиций bj I(dj), а выходная функция O отображает

переход dj в множество выходных позиций bj О(dj). Для каждого перехода

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif" width="13" height="13"> B | I(bi, dj) = 1 },

O(dj) = { bi B | O(dj, bi) = 1 },

i = 1,n; j = 1,m; n = | B |, m = | D |.

Аналогично для каждой позиции bi B вводятся определения

множество входных переходов позиции I(bi) и выходных переходов

позиции O(bi):

I(bi) = { dj D | I(dj, bi,) = 1 },

O(bi) = { dj D | O(bi, dj) = 1 }.

Сеть Петри представляет собой двудольный ориентированный граф, состоящий из вершин двух типов - позиций и переходов, соединённых между собой дугами, вершины одного типа не могут быть соединены непосредственно.

Пример сети Петри. Белыми кружками обозначены позиции, полосками - переходы, чёрными кружками - метки.

Ориентировочные дуги соединяют позиции и переходы, причем каждая дуга направлена от элемента одного множества (позиции или перехода) к элементу другого множества

(переходу или позиции). Граф N-схемы является мультиграфом, так как он

допускает существование кратных дуг от одной вершины к другой.

Декомпозиция" href="/text/category/dekompozitciya/" rel="bookmark">декомпозиции сложная система представляется в виде многоуровневой конструкции из взаимосвязанных элементов, объединенных в подсистемы различных уровней.

В качестве элемента А-схемы выступает агрегат, а связь между агрегатами (внутри системы S и с внешней средой Е) осуществляется с помощью оператора сопряжения R.

Любой агрегат характеризуется следующими множествами: моментов времени T, входных X и выходных Y сигналов, состояний Z в каждый момент времени t. Состояние агрегата в момент времени tT обозначается как z(t) Z,

а входные и выходные сигналы как х(t) X и y(t) Y соответственно.

Будем полагать, что переход агрегата из состояния z(t1) в состояние z(t2)≠z(t1) происходит за малый интервал времени, т. е. имеет место скачок δz.

Переходы агрегата из состояния z(t1) в z(t2) определяются собственными (внутренними) параметрами самого агрегата h(t) H и входными сигналами x(t) X.

В начальный момент времени t0 состояния z имеют значения, равные z0, т. е. z0=z(t0), задаваемые законом распределения процесса z(t) в момент времени t0, а именно J. Предположим, что процесс функционирования агрегата в случае воздействия входного сигнала xn описывается случайным оператором V. Тогда в момент поступления в агрегат tnT входного сигнала

xn можно определить состояние

z(tn + 0) = V.

Обозначим полуинтервал времени t1 < t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t < t2 как .

Совокупность случайных операторов V и U рассматривается как оператор переходов агрегата в новые состояния. При этом процесс функционирования агрегата состоит из скачков состояний δz в моменты поступления входных сигналов х (оператор V) и изменений состояний между этими моментами tn и tn+1 (оператор U). На оператор U не накладывается никаких ограничений, поэтому допустимы скачки состояний δz в моменты времени, не являющиеся моментами поступления входных сигналов x. В дальнейшем моменты скачков δz будем называть особыми моментами времени tδ, а состояния z(tδ) – особыми состояниями А-схемы. Для описания скачков состояний δz в особые моменты времени tδ будем использовать случайный оператор W, представляющий собой частный случай оператора U, т. е.

z(tδ + 0) = W.

В множестве состояний Z выделяется такое подмножество Z(Y), что если z(tδ) достигает Z(Y), то это состояние является моментом выдачи выходного сигнала, определяемого оператором выходов

у = G.

Таким образом, под агрегатом будем понимать любой объект, определяемый упорядоченной совокупностью рассмотренных множеств T, X, Y, Z, Z(Y), H и случайных операторов V, U, W, G.

Последовательность входных сигналов, расположенных в порядке их поступления в А-схему, будем называть входным сообщением или x-сообщением. Последовательность выходных сигналов, упорядоченную относительно времени выдачи, назовем выходным сообщением или y-сообщением.

ЕСЛИ КРАТКО

Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы)

Применяются для исследования систем, функционирующих в непрерывном времени. Для описания таких систем в основном используются дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные уравнения. В обыкновенных дифференциальных уравнениях рассматривается функция только одной независимой переменной, а в уравнениях в частных производных - функции нескольких переменных.

В качестве примера применения Д-моделей можно привести исследование работы механического маятника или электрического колебательного контура. Техническую основу Д-моделей составляют аналоговые вычислительные машины (АВМ) или бурно развивающиеся в настоящее время гибридные вычислительные машины (ГВМ). Как известно, основной принцип исследований на ЭВМ состоит в том, что по заданным уравнениям исследователь (пользователь АВМ) собирает схему из отдельных типовых узлов - операционных усилителей с включением цепей масштабирования, демпфирования, аппроксимации и т. п.

Структура АВМ изменяется в соответствии с видом воспроизводимых уравнений.

В цифровой ЭВМ структура остается неизменной, а изменяется последовательность работы ее узлов в соответствии с заложенной в нее программой. Сравнение АВМ и ЦВМ наглядно показывает разницу между имитационным и статистическим моделированием.

АВМ реализует имитационную модель, но, как правило, не использует принципы статистического моделировании. В ЦВМ большинство имитационных моделей базируется на исследовании случайных чисел, процессов, т. е. на статистическом моделировании. Непрерывно-детерминированные модели широко используются в машиностроении при исследовании систем автоматического управления, выборе амортизирующих систем, выявлении резонансных явлений и колебаний в технике
и т. п.

Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

Оперируют с дискретным временем. Эти модели являются основой для исследования работы чрезвычайно важного и распространенного сегодня класса систем дискретных автоматов. С целью их исследования разработан самостоятельный математический аппарат теории автоматов. На основе этой теории система рассматривается как автомат, перерабатывающий дискретную информацию и меняющий, в зависимости от результатов ее переработки, свои внутренние состояния.

На этой модели основаны принципы минимизации числа элементов и узлов в схеме, устройстве, оптимизация устройства в целом и последовательности работы его узлов. Наряду с электронными схемами , ярким представителем автоматов, описываемых данной моделью, является робот, управляющий (по заданной программе) технологическими процессами в заданной детерминированной последовательности.

Станок с числовым программным управлением также описывается данной моделью. Выбор последовательности обработки деталей на этом станке осуществляется настройкой узла управления (контроллера), вырабатывающего сигналы управления в определенные моменты времени / 4 /.

Теория автоматов использует математический аппарат булевых функций, оперирующих с двумя возможными значениями сигналов 0 и 1.

Автоматы разделяются на автоматы без памяти, автоматы с памятью. Описание их работы производится с помощью таблиц, матриц, графов, отображающих переходы автомата из одного состояния в другое. Аналитические оценки при любом виде описания работы автомата весьма громоздки и уже при сравнительно небольшом числе элементов, узлов, образующих устройство, практически невыполнимы. Поэтому исследование сложных схем автоматов, к которым, несомненно, относятся и робототехнические устройства, производится с применением имитационного моделирования.

Дискретно-стохастические модели (P-схемы)

Применяются при исследовании работы вероятностных автоматов. В автоматах этого типа переходы из одного состояния в другое осуществляются под воздействием внешних сигналов и с учетом внутреннего состояния автомата. Однако в отличие от Г-автоматов, эти перехода не строго детерминированы, а могут осуществляться с определенными вероятностями.

Пример такой модели представляет дискретная марковская цепь с конечным множеством состояний. Анализ F-схем основан на обработке и преобразовании матриц вероятностей переходов и анализе вероятностных графов. Уже для анализа сравнительно простых устройств, поведение которых описывается F-схемами, целесообразно применение имитационного моделирования. Пример такого моделирования приведен в пункте 2.4.

Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы)

Используются при анализе широкого класса систем, рассматриваемых как системы массового обслуживания. В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы: потоки поставок продукции предприятию, потоки комплектующих заказных деталей и изделий, потоки деталей на сборочном конвейере, потоки управляющих воздействий от центра управления АСУ на рабочие места и обратные заявки на обработку информации в ЭВМ и т. д.

Как правило, эти потоки зависят от многих факторов и конкретных ситуаций. Поэтому в большинстве случаев эти потоки случайны во времени с возможностью изменений в любые моменты. Анализ таких схем производится на основе математического аппарата теории массового обслуживания. К ним относится непрерывная марковская цепь. Несмотря на значительные успехи, достигнутые в разработке аналитических методов, теория массового обслуживания, анализ Q-схем аналитическими методами может быть проведен лишь при значительных упрощающих допущениях и предположениях. Детальное исследование большинства этих схем, тем более таких сложных, как АСУТП, робототехнические системы, может быть проведено только с помощью имитационного моделирования.

Обобщенные модели (А-схемы)

Основаны на описании процессов функционирования любых систем на базе агрегативного метода. При агрегативном описании система разбивается на отдельные подсистемы, которые могут считаться удобными для математического описания. В результате такого разбиения (декомпозиции) сложная система представляется в виде многоуровневой системы, отдельные уровни (агрегаты) которой поддаются анализу. На основе анализа отдельных агрегатов и с учетом законов взаимосвязей этих агрегатов удается провести комплексное исследование всей системы.

, Яковлев систем. 4-е изд. – М.: Высшая школа, 2005. – С. 45-82.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

Исходной информацией при построении математических моде­лей процессов функционирования систем служат данные о назна­чении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S . Эта информация определяет основную цель моделирования систе­мы S и позволяет сформулировать требования к разрабатываемой математической модели М. Причем уровень абстрагирования за­висит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хочет получить ответ с помощью модели, и в какой-то степени определяет выбор математической схемы.

Математические схемы. Введение понятия математическая схема позволяет рассма­тривать математику не как метод расчета, а как метод мыш­ления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания си­стемы к формальному представлению процесса ее функцио­нирования в виде некоторой математической модели (ана­литической или имитационной). При пользовании математи­ческой схемой в первую очередь исследователя системы S должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкрет­ный вопрос исследования. Например, представление процесса функционирования информационно-вычислительной системы кол­лективного пользования в виде сети схем массового обслуживания дает возможность хорошо описать процессы, происходящие в си­стеме, но при сложных законах входящих потоков и потоков обслу­живания не дает возможности получения результатов в явном виде.

Математическую схему можно определить как звено при пере­ходе от содержательного к формальному описанию процесса функ­ционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т. е. имеет место цепочка «описательная модель - математическая схе­ма - математическая (аналитическая или (и) имитационная) модель».

Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отражающие пове­дение моделируемого объекта (реальной системы) и учитывающие условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е. При построении математической модели системы не­обходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регули­руется, в основном, выбором границы «система S - среда Е ». Так­же должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепен­ные. Причем отнесение свойств системы к основным или второ­степенным существенно зависит от цели моделирования системы (например, анализ вероятностно-временных характеристик процес­са функционирования системы, синтез структуры системы и т. д.).

Формальная модель объекта. Модель объекта моделирования, т. е. системы S, можно пред­ставить в виде множества величин, описывающих процесс функцио­нирования реальной системы и образующих в общем случае сле­дующие подмножества: совокупность входных воздействий на систему

;

совокупность воздействий внешней среды

;

совокупность внутренних, (собственных) параметров системы

;

совокупность выходных характеристик системы

.

Причем в перечисленных подмножествах можно выделить управляемые и неуправляемые переменные. В общем случае , , , являются элементами непересекающихся подмножеств и со­держат как детерминированные, так и стохастические составляю­щие.

При моделировании системы S входные воздействия, воздейст­вия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными, которые в векторной форме имеют соответственно вид , , , а выходные характеристики системы являются зависимыми (эндо­генными) переменными и в векторной форме имеют вид ).

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором F s , который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида

. (1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени y j (t ) для всех видов
называется выходной траекторией
. Зависимость (1) называется законом функ­ционирования системы S и обозначается F s . В общем случае закон функционирования системы F s может быть задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Весьма важным для описания и исследования системы S являет­ся понятие алгоритма функционирования A s , под которым понимает­ся метод получения выходных характеристик с учетом входных воз­действий
, воздействий внешней среды
и собственных па­раметров системы
. Очевидно, что один и тот же закон функ­ционирования F s системы S может быть реализован различными способами, т. е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования A s .

Соотношения (1) являются математическим описанием пове­дения объекта (системы) моделирования во времени t , т. е. отра­жают его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида принято называть динамическими моделями (системами).

Для статических моделей математическая модель (1) представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y и { X , V , Н}, что в векторной фор­ме может быть записано как

. (2)

Соотношения (1) и (2) могут быть заданы различными спо­собами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т. д. Такие соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы S характеризуется векто­рами

и
,

где
,
, …,
в момент времени
;
,
, …,
в момент времени
и т.д.,
.

Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательную смену состояний
, то они могут быть интерпретированы как координаты точки в к -мерном фазовом пространстве. Причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний называется пространством со­стояний объекта моделирования Z , причем
.

Состояния системы S в момент времени t 0 < t *T полностью определяются начальными условиями
[где
,
, …,
], входными воздействиями
, собственными па­раметрами системы
и воздействиями внешней среды
, которые имели место за промежуток времени t *- t 0 , с помощью двух векторных уравнений

; (3)

. (4)

Первое уравнение по начальному состоянию и экзогенным переменным
определяет вектор-функцию
, а второе по полученному значению состояний
- эндогенные переменные на выходе системы
. Таким образом, цепочка уравнений объек­та «вход-состояния- выход» позволяет определить характери­стики системы

. (5)

В общем случае время в модели системы S может рассматри­ваться на интервале моделирования (0, Т) как непрерывное, так и дискретное, т. е. квантованное на отрезки длиной
временных единиц каждый, когда
, где
- число интервалов дискретизации.

Таким образом, под математической моделью объекта (реаль­ной системы) понимают конечное подмножество переменных {
} вместе с математическими связями между ними и ха­рактеристиками
.

Если математическое описание объекта моделирования не со­держит элементов случайности или они не учитываются, т. е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды
и стохастические внутренние параметры
отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детермини­рованными входными воздействиями

. (6)

Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

Типовые схемы. Приведенные математические соотношения представляют собой математические схемы общего вида и позволяют описать широкий класс систем. Однако в практике моделирования объектов в об­ласти системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри и т. д.

Не обладая такой степенью общности, как рассмотренные мо­дели, типовые математические схемы имеют преимущества просто­ты и наглядности, но при существенном сужении возможностей применения. В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представ­ления систем, функционирующих в непрерывном времени, исполь­зуются дифференциальные, интегральные, интегродифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функциони­рующих в дискретном времени, - конечные автоматы и конечно-разностные схемы. В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным вре­менем используются вероятностные автоматы, а для представления системы с непрерывным временем - системы массового обслужи­вания и т. д.

Перечисленные типовые математические схемы, естественно, не могут претендовать на возможность описания на их базе всех про­цессов, происходящих в больших информационно-управляющих си­стемах. Для таких систем в ряде слу­чаев более перспективным является применение агрегативных мо­делей.

Агрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характе­ра этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект (система) расчленяется на конечное число частей (подси­стем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие частей.

Таким образом, при построении математических моделей про­цессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения); дискретно-детерминированный (ко­нечные автоматы); дискретно-стохастический (вероятностные авто­маты); непрерывно-стохастический (системы массового обслужи­вания); обобщенный или универсальный (агрегативные системы).

НЕПРЕРЫВНО-ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ (D-СХЕМЫ)

Рассмотрим особенности непрерывно-детерминированного под­хода на примере использования в качестве математических моде­лей дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравне­ниями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных поряд­ков. Если неизвестные - функции многих переменных, то уравне­ния называются уравнениями в частных производ­ных, в противном случае при рассмотрении функций только одной независимой переменной уравнения называются обыкновенны­ми дифференциальными уравнениями.

Основные соотношения. Обычно в таких математических моделях в качестве независи­мой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, служит время t . Тогда математическое соотношение для детерми­нированных систем (6) в общем виде будет

, (7)

где
,
и
- п -мерные векторы;
- вектор-функция, которая определена на неко­тором (п +1)-мерном
множестве и является непрерывной.

Так как математические схемы такого вида отражают динами­ку изучаемой системы, т. е. ее поведение во времени, то они назы­ваются D -схемами (англ. dynamic ).

В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравне­ние имеет вид

. (8)

Наиболее важно для системотехники приложение D -схем в ка­честве математического аппарата в теории автоматического управления. Для иллюстрации особенностей построения и применения D-схем рассмотрим простейший пример формализации процесса функциони­рования двух элементарных систем различ­ной физической природы: механической S M (колебания маятника, рис. 1,а) и электри­ческой S K (колебательный контур рис. 1,б).

Рис. 1. Элементарные системы

Процесс малых колебаний маятника опи­сывается обыкновенным дифференциальным уравнением

где
- масса и длина подвеса маятника; g - ускорение сво­бодного падения;
- угол отклонения маятника в момент вре­мени t .

Из этого уравнения свободного колебания маятника можно найти оценки интересующих характеристик. Например, период ко­лебания маятника

.

Аналогично, процессы в электрическом колебательном контуре описываются обыкновенным дифференциальным уравнением

где L к , С к - индуктивность и емкость конденсатора; q (t ) - заряд конденсатора в момент времени t .

Из этого уравнения можно получить различные оценки харак­теристик процесса в колебательном контуре. Например, период электрических колебаний

.

Очевидно, что введя обозначения
,
, ,
, получим обыкновенное диффе­ренциальное уравнение второго порядка, описывающее поведение этой замкнутой системы:

где
- параметры системы; z (t ) - состояние системы в момент времени t .

Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели (9). Кроме того, необходимо отметить, что поведение одной из систем может быть проанализировано с помощью другой. Например, поведение маятника (системы S M ) может быть изучено с помощью электри­ческого колебательного контура (системы S K ).

Если изучаемая система S , т. е. маятник или контур, взаимо­действует с внешней средой Е, то появляется входное воздейст­вие х(t ) (внешняя сила для маятника и источник энергии для контура) и непрерывно-детерминированная модель такой системы будет иметь вид

С точки зрения общей схемы математической модели х(t ) является входным (управляющим) воздействием, а состоя­ние системы S в данном случае можно рассматривать как выход­ную характеристику, т. е. полагать, что выходная переменная сов­падает с состоянием системы в данный момент времени у = z .

Возможные приложения. При решении задач системотехники важное значение имеют проблемы управления большими системами. Следует обра­тить внимание на системы автоматического управле­ния - частный случай динамических систем, описываемых D -схемами и выделенных в отдельный класс моделей в силу их практи­ческой специфики.

Описывая процессы автоматического управления, придержива­ются обычно представления реального объекта в виде двух систем: управляющей и управляемой (объекта управления). Структура многомерной системы автоматического управления общего вида представлена на рис. 2, где обозначены эндоген­ные переменные :
- вектор входных (задающих) воз­действий;
- вектор возмущающих воздействий;
- век­тор сигналов ошибки;
- вектор управляющих воздействий; экзогенные переменные :
- вектор состояний систе­мы S;
- вектор выходных переменных, обычно
=
.

Рис. 2. Структура системы автоматического управления

Современная управляющая система - это совокупность про­граммно-технических средств, обеспечивающих достижение объек­том управления определенной цели. Насколько точно объект управ­ления достигает заданной цели, можно судить для одномерной системы по координате состояния у(t ). Разность между задан­ным у зад (t ) и действительным у(t ) законом изменения управ­ляемой величины есть ошибка управления . Если предписанный закон изменения управляемой величины соответствует закону изменения входного (задающего) воздействия, т.е.
, то
.

Системы, для которых ошибки управления
во все мо­менты времени, называются идеальными. На практике реализация идеальных систем невозможна. Таким образом, ошибка h "(t ) - необходимый элемент автоматического управления, основанного на принципе отрицательной обратной связи, так как для приведения в соответствие выход­ной переменной y (t ) ее заданному значению ис­пользуется информация об отклонении между ними. Задачей системы автоматического управ­ления является измене­ние переменной y (t ) со­гласно заданному зако­ну с определенной точ­ностью (с допустимой ошибкой). При проек­тировании и эксплуата­ции систем автоматиче­ского управления необходимо выбрать такие параметры системы S , которые обеспечили бы требуемую точность управления, а также устойчивость системы в переходном процессе.

Если система устойчива, то представляет практический интерес поведение системы во времени, максимальное отклонение регули­руемой переменной у(t ) в переходном процессе, время переход­ного процесса и т. п. Выводы о свойствах систем автоматического управления различных классов можно сделать по виду дифферен­циальных уравнений, приближенно описывающих процессы в си­стемах. Порядок дифференциального уравнения и значения его коэффициентов полностью определяются статическими и динами­ческими параметрами системы S .

Таким образом, использование D -схем позволяет формализо­вать процесс функционирования непрерывно-детерминированных систем S и оценить их основные характеристики, применяя анали­тический или имитационный подход, реализованный в виде соот­ветствующего языка для моделирования непрерывных систем или использующий аналоговые и гибридные средства вычислитель­ной техники.

Наибольшие затруднения и наиболее серьезные ошибки при моделировании возникают при переходе от содержательного к формальному описанию объектов исследования, что объясняется участием в этом творческом процессе коллективов разных специальностей: специалистов в области систем, которые требуется моделировать (заказчиков), и специалистов в области машинного моделирования (исполнителей). Эффективным средством для нахождения взаимопонимания между этими группами специалистов является язык математических схем, позволяющий во главу угла поставить вопрос об адекватности перехода от содержательного описания системы к ее математической схеме, а лишь затем решать вопрос о конкретном методе получения результатов с использованием ЭВМ: аналитическом или имитационном, а возможно, и комбинированном, т. е. аналитико-имитационном. Применительно к конкретному объекту моделирования, т. е. к сложной системе, разработчику модели должны помочь конкретные, уже прошедшие апробацию для данного класса систем математические схемы, показавшие свою эффективность в прикладных исследованиях на ЭВМ и получившие название типовых математических схем.

ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

Исходной информацией при построении математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы, исследуемой (проектируемой) системы 5. Эта информация определяет основную цель моделирования системы £ и позволяет сформулировать требования к разрабатываемой математической модели А/. Причем уровень абстрагирования зависит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хочет получить ответ с помощью модели, и в какой-то степени определяет выбор математической схемы .

Математические схемы.

Введение понятия "математическая схема" позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания системы к формальному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой математической модели (аналитической или имитационной). При пользовании математической схемой исследователя системы 5* в первую очередь должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования. Например, представление процесса функционирования информационно-вычислительной системы коллективного пользования в виде сети схем массового обслуживания дает возможность хорошо описать процессы, происходящие в системе, но при сложных законах распределения входящих потоков и потоков обслуживания не дает возможности получения результатов в явном виде .

Математическую схему можно определить, как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т. е. имеет место цепочка "описательная модель - математическая схема - математическая [аналитическая или (и) имитационная] модель".

Каждая конкретная система Л 1 характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отражающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учитывающие условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е. При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регулируется в основном выбором границы "система.У-среда £>>. Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные. Причем отнесение свойств системы к основным или второстепенным существенно зависит от цели моделирования системы (например, анализ вероятностно-временных характеристик процесса функционирования системы, синтез структуры системы и т. д.).

Формальная модель объекта. Модель объекта моделирования, т. е. системы 5, можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества: совокупность входных воздействий на систему

совокупность воздействий внешней среды

совокупность внутренних (собственных) параметров системы

совокупность выходных характеристик системы

При этом в перечисленных подмножествах можно выделить управляемые и неуправляемые переменные. В общем случае х„ г/, А*,

у у являются элементами непересекающихся подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.

При моделировании системы 5 входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными , которые в векторной форме имеют соответственно вид х (/)=(*! (О, х 2 (0> -" х *х(0)*

" (0=("1 (0. "2(0. . "^(0; л (/)=(*! (0. Л 2 (0. ■ . Л -Н (0). а выходные характеристики системы являются зависимыми (эндогенными) переменными и в векторной форме имеют вид у (0=(у 1 0), у 2 (0" > У.гШ

Процесс функционирования системы 5 описывается во времени оператором /* 5 , который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени уДг) для всех видов у= 1, п у называется выходной траекторией у ((). Зависимость (2.1) называется законом функционирования системы Б и обозначается Г 5 . В общем случае закон функционирования системы Е 5 может быт задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Весьма важным для описания и исследования системы 5 является понятие алгоритма функционирования Л 5 , под которым понимается метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий х (/), воздействий внешней среды V (г) и собственных параметров системы И (/). Очевидно, что один и тот же закон функционирования системы 5 может быть реализован различными способами, т. е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования Л $ .

Соотношения (2.1) являются математическим описанием поведения объекта (системы) моделирования во времени /, т. е. отражают его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида принято называть динамическими моделями (системами) .

Для статических моделей математическая модель (2.1) представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта У и {X, V , Я}, что в векторной форме может быть записано как

Соотношения (2.1) и (2.2) могут быть заданы различными способами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т. д. Такие соотношения в ряде случаев могут быть получены

через свойства системы 5 в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы 5 характеризуется векторами

где *; = *!(/"), *2=*2(0" " **=**(0 в момент /"е(/ 0 , 7); *1 =^(0, *2=*2(П" , *£=**(*") в момент /"б(/ 0 , 7) и т. д., £=1, п г.

Если рассматривать процесс функционирования системы 5 как последовательную смену состояний (/), г 2 (/), г к (/), то они

могут быть интерпретированы как координаты точки в ^-мерном фазовом пространстве, причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний {г} называется пространством состояний объекта моделирования Z t причем г к е Z.

Состояния системы 5 в момент времени полностью

определяются начальными условиями 7° = (2° 1 ,. 2 2 °, г ° к) [где

*°1 = *1(*о)" *°г = *2 (^о)" -" *°*=**(*о)]" входными воздействиями х (/), внутренними параметрами к (/) и воздействиями внешней среды V (0, которые имели место за промежуток времени - / 0 , с помощью двух векторных уравнений

Первое уравнение по начальному состоянию г° и экзогенным переменным х, V, И определяет вектор-функцию (/), а второе по полученному значению состояний г (/) - эндогенные переменные на выходе системы у (/). Таким образом, цепочка уравнений объекта "вход - состояния - выход" позволяет определить характеристики системы

В общем случае время в модели системы Я может рассматриваться на интервале моделирования (О, Т) как непрерывное, так и дискретное, т. е. квантованное на отрезки д линой А/ временных единиц каждый, когда Т=тА1, где т- 1, т Т - число интервалов дискретизации.

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных {х (/), ь (/), И (г)} вместе с математическими связями между ними и характеристиками у (/) .

Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, т. е. если

можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды V (/) и стохастические внутренние параметры И (/) отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями

Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

Типовые схемы.

Приведенные математические соотношения представляют собой математические схемы общего вида и позволяют описать широкий класс систем. Однако в практике моделирования объектов в области системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри и т. д.

Не обладая такой степенью общности, как рассмотренные модели, типовые математические схемы имеют преимущества простоты и наглядности, но при существенном сужении возможностей применения. В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени- конечные автоматы и конечно-разностные схемы. В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления системы с непрерывным временем - системы массового обслуживания и т. д.

Перечисленные типовые математические схемы, естественно, не могут претендовать на возможность описания на их базе всех процессов, происходящих в больших информационно-управляющих системах. Для таких систем в ряде случаев более перспективным является применение агрегативных моделей . Агрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект (система) расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие частей.

Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения); дискретно-детерминированный (конечные автоматы); дискретно-стохастический (вероятностные автоматы); непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания); обобщенный, или универсальный (агрегативные системы).

Математические схемы, рассматриваемые в последующих параграфах данной главы, должны помочь оперировать различными подходами в практической работе при моделировании конкретных систем.

1. Графические модели

2. Имитационные модели

3. Математические модели

4. Моделирование процессов оптимального планирования

5. Моделирование глобальных процессов

7. Моделирование экологических систем и процессов

8. Объектно-информационные модели

9. Системный анализ

10. Статистические модели

11. Табличные модели

12. Формализация и моделирование

В школьном курсе информатики традиционно присутствует содержательная линия формализации и моделирования. Понятие модели относится к фундаментальным общенаучным понятиям, а моделирование - это метод познания действительности, используемый различными науками.

Практически во всех естественных и социальных науках построение и использование моделей является мощным орудием исследований. Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения оказывается построение модели, отображающей лишь какую-то часть реальности и потому многократно более простой, чем эта реальность. Предметом исследования и разработки информатики является методология информационного моделирования, связанная с использованием компьютерной техники и технологий. В этом смысле говорят о компьютерном моделировании . Межпредметное значение информатики в значительной степени проявляется именно через внедрение компьютерного моделирования в различные научные и прикладные области: физику и технику, биологию и медицину, экономику, управление и многие другие.

Компьютерное моделирование включает в себя процесс реализации информационной модели на компьютере и исследование с помощью этой модели объекта моделирования - проведение вычислительного эксперимента . С помощью компьютерного моделирования решаются многие научные и производственные задачи.

Информационное моделирование связано с формализацией данных об объекте моделирования (см. “Формализация и моделирование” ). Построение информационной модели начинается с определения целей моделирования и анализа объекта моделирования как сложной системы, в которой требуется выделить отражаемые в модели свойства и отношения между ними (см. “Системный анализ” ). Информационные модели различаются по форме представления информации об объекте моделирования. Математические модели используют язык математики для представления объекта моделирования . Отдельной разновидностью математических моделей являются статистические модели - ориентированные на обработку массовых данных (например, опросов населения), в которых имеется элемент случайности. Данные об объекте моделирования, организованные в табличной форме, составляют табличную модель . Графические средства используются для построения графических моделей . Возникший в конце прошлого столетия объектно-ориентированный подход к программированию породил новую парадигму в информационном моделировании: объектно-информационное моделирование . Компьютерные модели, воспроизводящие поведение сложных систем, для описания которых нет однозначного математического аппарата, называются имитационными моделями .

Компьютерное информационное моделирование используется для описания и анализа процессов разнообразной природы. Наибольший опыт в этом отношении имеют физические науки (см. “Моделирование физических систем и процессов” ). Компьютерное моделирование помогает решать важные проблемы экологии (см. “Моделирование экологических систем и процессов” ). Большую роль играет информационное моделирование в экономике и управлении. Важнейшими задачами этой области являются задачи планирования (см. “Моделирование процессов оптимального планирования” ). Средствами компьютерного моделирования ученые пытаются решить даже такую глобальную проблему, как судьбы человеческой цивилизации (см. “Моделирование глобальных процессов” ).

1. Графические модели

Разнообразие графических моделей достаточно велико. Рассмотрим некоторые из них.

Наглядным средством отображения состава и структуры систем (см. “Системология ”) являются графы.

Рассмотрим пример. Имеется словесное описание некоторой местности: “Наш район состоит из пяти поселков: Дедкино, Бабкино, Репкино, Кошкино и Мышкино. Автомобильные дороги проложены между: Дедкино и Бабкино, Дедкино и Кошкино, Бабкино и Мышкино, Бабкино и Кошкино, Кошкино и Репкино”. По такому описанию довольно трудно представить себе эту местность. Гораздо легче та же информация воспринимается с помощью схемы (см. рисунок). Это не карта местности. Здесь не выдержаны направления по сторонам света, не соблюден масштаб. На этой схеме отражен лишь факт существования пяти поселков и дорожной связи между ними. Такая схема, отображающая элементный состав системы и структуру связей , называется графом .

Составными частями графа являются вершины и ребра . На рисунке вершины изображены кружками - это элементы системы , а ребра изображены линиями - это связи (отношения) между элементами . Глядя на этот граф, легко понять структуру дорожной системы в данной местности.

Построенный граф позволяет, например, ответить на вопрос: через какие поселки надо проехать, чтобы добраться из Репкино в Мышкино? Видно, что есть два возможных пути: 1) Р К Б М и) Р К Д Б М. Можно ли отсюда сделать вывод, что 1-й путь короче 2-го? Нет, нельзя. Данный граф не содержит количественных характеристик. Это не карта, где соблюдается масштаб и есть возможность измерить расстояние.

Граф, приведенный на следующем рисунке, содержит количественные характеристики. Числа около ребер обозначают длины дорог в километрах. Это пример взвешенного графа . Взвешенный граф может содержать количественные характеристики не только связей, но и вершин. Например, в вершинах может быть указано население каждого поселка. Согласно данным взвешенного графа, оказывается, что первый путь длиннее второго.

Подобные графы еще называют сетью . Для сети характерна возможность множества различных путей перемещения по ребрам между некоторыми парами вершин . Для сетей также характерно наличие замкнутых путей, которые называются циклами . В данном случае имеется цикл: К Д Б К.

На рассмотренных схемах каждое ребро обозначает наличие дорожной связи между двумя пунктами. Но дорожная связь действует одинаково в обе стороны: если по дороге можно проехать от Б к М, то по ней же можно проехать и от М к Б (предполагаем, что действует двустороннее движение). Такие графы являются неориентированными , а их связи называют симметричными .

Качественно иной пример графа изображен на следующем рисунке.

Граф совместимости групп крови

Этот пример относится к медицине. Известно, что у разных людей кровь отличается по группе. Существуют четыре группы крови. Оказывается, что при переливании крови от одного человека к другому не все группы совместимы. Граф показывает возможные варианты переливания крови. Группы крови - это вершины графа с соответствующими номерами, а стрелки указывают на возможность переливания одной группы крови человеку с другой группой крови. Например, из этого графа видно, что кровь I группы можно переливать любому человеку, а человек с I группой крови воспринимает только кровь своей группы. Видно также, что человеку с IV группой крови можно переливать любую, но его собственную кровь можно переливать только в ту же группу.

Связи между вершинами данного графа несимметричны и поэтому изображаются направленными линиями со стрелками. Такие линии принято называть дугами (в отличие от ребер неориентированных графов). Граф с такими свойствами называется ориентированным . Линия, выходящая и входящая в одну и ту же вершину, называется петлей . В данном примере присутствуют четыре петли.

Нетрудно понять преимущества изображения модели системы переливания крови в виде графа по сравнению со словесным описанием тех же самых правил. Граф легко воспринимается и запоминается.

Дерево - граф иерархической структуры

Весьма распространенным типом систем являются системы с иерархической структурой. Иерархическая структура естественным образом возникает, когда объекты или некоторые их свойства находятся в отношении соподчинения (вложения, наследования). Как правило, иерархическую структуру имеют системы административного управления, между элементами которых установлены отношения подчиненности. Например: директор завода - начальники цехов - начальники участков - бригадиры - рабочие. Иерархическую структуру имеют также системы, между элементами которых существуют отношения вхождения одних в другие.

Граф иерархической структуры называется деревом . Основным свойством дерева является то, что между любыми двумя его вершинами существует единственный путь. Деревья не содержат циклов и петель.

Посмотрите на граф, отражающий иерархическую административную структуру нашего государства: Российская Федерация делится на семь административных округов; округа делятся на регионы (области и национальные республики), в состав которых входят города и другие населенные пункты. Такой граф называется деревом .

Дерево административной структуры РФ

У дерева существует одна главная вершина, которая называется корнем дерева . Эта вершина изображается вверху; от нее идут ветви дерева. От корня начинается отсчет уровней дерева. Вершины, непосредственно связанные с корнем, образуют первый уровень. От них идут связи к вершинам второго уровня и т.д. Каждая вершина дерева (кроме корня) имеет одну исходную вершину на предыдущем уровне и может иметь множество порожденных вершин на следующем уровне. Такой принцип связи называется “один ко многим ”. Вершины, которые не имеют порожденных, называются листьями (на нашем графе это вершины, обозначающие города).

Графическое моделирование результатов научных исследований

Общую цель научной графики можно сформулировать так: сделать невидимое и абстрактное “видимым”. Последнее слово заключено в кавычки, так как эта “видимость” часто весьма условна. Можно ли увидеть распределение температуры внутри неоднородно нагретого тела сложной формы без введения в него сотен микродатчиков, т.е., по существу, его разрушения? - Да, можно, если есть соответствующая математическая модель и, что очень важно, договоренность о восприятии определенных условностей на рисунке. Можно ли увидеть распределение металлических руд под землей без раскопок? Строение поверхности чужой планеты по результатам радиолокации? На эти и множество других вопросов ответ - да, можно, с помощью компьютерной графики и предшествующей ей математической обработки.

Более того, можно “увидеть” и то, что, строго говоря, вообще плохо соответствует слову “видеть”. Так, возникшая на стыке химии и физики наука - квантовая химия - дает нам возможность “увидеть” строение молекулы. Эти изображения - верх абстракции и системы условностей, так как в атомном мире обычные наши понятия о частицах (ядрах, электронах и т.п.) принципиально неприменимы. Однако многоцветное “изображение” молекулы на экране компьютера для тех, кто понимает всю меру его условности, приносит большую пользу, чем тысячи чисел, являющихся результатами вычислений.

Изолинии

Стандартным приемом обработки результатов вычислительного эксперимента является построение линий (поверхностей), называемых изолиниями (изоповерхностями), вдоль которых некоторая функция имеет постоянное значение . Это очень распространенный прием визуализации характеристик некоторого скалярного поля в приближении сплошной среды: изотермы - линии равной температуры, изобары - линии равного давления, изолинии функции тока жидкости или газа, по которым легко можно представить себе их потоки, изолинии численностей экологической популяции на местности, изолинии концентрации вредных примесей в окружающей среде и т.д.

Изолинии течения

На рисунке изображены изолинии функции тока неравномерно нагретой жидкости в прямоугольной области течения. По этой картине можно наглядно судить о направлении потоков течения и их интенсивности.

Условные цвета, условное контрастирование

Еще один интересный прием современной научной графики - условная раскраска. Она находит широчайшее применение в самых разных приложениях науки и представляет собой набор приемов по максимально удобной визуализации результатов компьютерного моделирования.

В различных исследованиях температурных полей встает проблема наглядного представления результатов, например, температур на метеорологических картах. Для этого можно рисовать изотермы на фоне карты местности. Но можно добиться еще большей наглядности, учитывая, что большинству людей свойственно воспринимать красный цвет как “горячий”, синий - как “холодный”. Переход по спектру от красного к синему отражает промежуточные значения температур.

То же самое можно делать при иллюстрации температурного поля и на поверхности обрабатываемой на станке детали, и на поверхности далекой планеты.

При моделировании сложных органических молекул компьютер может выдавать результаты в виде многоцветной картины, на которой атомы водорода изображены одним цветом, углерода - другим и т.д., причем атом представлен шариком (кружочком), в пределах которого плотность цвета меняется в соответствии с распределением электронной плотности. При поиске полезных ископаемых методами аэрофотосъемки с самолетов или космических спутников компьютеры строят условные цветовые изображения распределений плотности под поверхностью Земли.

Изображения в условных цветах и контрастах - мощнейший прием научной графики. Он позволяет понять строение не только плоских, но и объемных (трехмерных) объектов, дает в руки исследователя один из замечательных методов познания.

Не следует путать изучение графического информационного моделирования с изучением технологий обработки графической информации. Когда ученики приступают к изучению моделирования, то обычно они уже знакомы с базовыми технологиями компьютерной графики: умеют пользоваться простыми графическими редакторами, умеют строить диаграммы в табличном процессоре или иной подходящей программе.

Построение простых графических моделей в форме графов и иерархических структур уместно уже в базовом курсе информатики в рамках изучения темы “Формализация и моделирование”. Построение генеалогического дерева семьи, иерархической системы школьного управления и т.п. является относительно несложным занятием, доступным большинству учащихся. При этом уместно использовать иллюстративные возможности систем компьютерной графики.

Что же касается самостоятельной реализации моделей научной графики через программирование, то это - материал повышенной трудности, практическая отработка которого уместна в профильном курсе информатики или в рамках элективного курса, направленного на углубленное изучение моделирования физических и других процессов.

2. Имитация модели

Имитационная модель воспроизводит поведение сложной системы взаимодействующих элементов . Для имитационного моделирования характерно наличие следующих обстоятельств (одновременно всех или некоторых из них):

· объект моделирования - сложная неоднородная система;

· в моделируемой системе присутствуют факторы случайного поведения;

· требуется получить описание процесса, развивающегося во времени;

· принципиально невозможно получить результаты моделирования без использования компьютера.

Состояние каждого элемента моделируемой системы описывается набором параметров, которые хранятся в памяти компьютера в виде таблиц. Взаимодействия элементов системы описываются алгоритмически. Моделирование осуществляется в пошаговом режиме. На каждом шаге моделирования изменяются значения параметров системы. Программа, реализующая имитационную модель, отражает изменение состояния системы, выдавая значения ее искомых параметров в виде таблиц по шагам времени или в последовательности происходящих в системе событий. Для визуализации результатов моделирования часто используется графическое представление, в т.ч. анимированное.

Детерминированное моделирование

Имитационная модель основана на подражании реальному процессу (имитации). Например, моделируя изменение (динамику) численности микроорганизмов в колонии, можно рассматривать много отдельных объектов и следить за судьбой каждого из них, ставя определенные условия для его выживания, размножения
и т.д. Эти условия обычно задаются в вербальной форме. Например: по истечении некоторого промежутка времени микроорганизм делится на две части, а по прошествии другого (большего) временноRго отрезка - погибает. Выполнение описанных условий алгоритмически реализуется в модели.

Другой пример: моделирование движения молекул в газе, когда каждая молекула представляется в виде шарика с определенным направлением и скоростью движения. Взаимодействие двух молекул или молекулы со стенкой сосуда происходит согласно законам абсолютно-упругого столкновения и легко описывается алгоритмически. Получение интегральных (общих, усредненных) характеристик системы производится на уровне статистической обработки результатов моделирования.

Такой компьютерный эксперимент фактически претендует на воспроизведение натурного эксперимента. На вопрос: “Зачем это нужно делать?” можно дать следующий ответ: имитационное моделирование позволяет выделить “в чистом виде” следствия гипотез, заложенных в представления о микрособытиях (т.е. на уровне элементов системы), избавив их от неизбежного в натурном эксперименте влияния других факторов, о которых мы можем даже не подозревать. Если такое моделирование включает и элементы математического описания процессов на микроуровне, и если исследователь при этом не ставит задачу поиска стратегии регулирования результатов (например, управления численностью колонии микроорганизмов), то отличие имитационной модели от математической (дескриптивной) оказывается достаточно условным.

Приведенные выше примеры имитационных моделей (эволюция колонии микроорганизмов, движение молекул в газе) приводят к детерминированному описанию систем. В них отсутствуют элементы вероятности, случайности событий в моделируемых системах. Рассмотрим пример моделирования системы, обладающей этими качествами.

Модели случайных процессов

Кому не случалось стоять в очереди и с нетерпением прикидывать, успеет ли он сделать покупку (или заплатить за квартиру, покататься на карусели и т.д.) за некоторое имеющееся в его распоряжении время? Или, пытаясь позвонить по телефону в справочную и натыкаясь несколько раз на короткие гудки, нервничать и оценивать - дозвонюсь или нет? Из таких “простых” проблем в начале XX века родилась новая отрасль математики - теория массового обслуживания , использующая аппарат теории вероятностей и математической статистики, дифференциальных уравнений и численных методов. Впоследствии выяснилось, что эта теория имеет многочисленные выходы в экономику, военное дело, организацию производства, биологию и экологию и т.д.

Компьютерное моделирование при решении задач массового обслуживания, реализуемое в виде метода статистических испытаний (метода Монте-Карло), играет важную роль. Возможности аналитических методов решения реально возникающих задач массового обслуживания весьма ограничены, в то время как метод статистических испытаний универсален и относительно прост.

Рассмотрим простейшую задачу этого класса. Имеется магазин с одним продавцом, в который случайным образом входят покупатели. Если продавец свободен, то он начинает обслуживать покупателя сразу, если зашло одновременно несколько покупателей - выстраивается очередь. Есть немало других аналогичных ситуаций:

· ремонтная зона в автохозяйстве и автобусы, сошедшие с линии из-за поломки;

· травмпункт и больные, пришедшие на прием по случаю травмы (т.е. без системы предварительной записи);

· телефонная станция с одним входом (или одной телефонисткой) и абоненты, которых при занятом входе ставят в очередь (такая система иногда практикуется);

· сервер локальной сети и персональные машины на рабочем месте, которые шлют сообщение серверу, способному воспринять разом и обработать не более одного сообщения.

Процесс прихода покупателей в магазин - случайный процесс. Промежутки времени между приходами любой последовательной пары покупателей - независимые случайные события, распределенные по некоторому закону, который может быть установлен лишь путем многочисленных наблюдений (либо для моделирования взят некоторый его правдоподобный вариант). Второй случайный процесс в этой задаче, никак не связанный с первым, - длительность обслуживания каждого из покупателей.

Целью моделирования систем такого вида является получение ответа на ряд вопросов. Относительно простой вопрос - какое в среднем время придется стоять в очереди при заданных законах распределения указанных выше случайных величин? Более сложный вопрос: каково распределение времен ожидания обслуживания в очереди? Не менее сложный вопрос: при каких соотношениях параметров входных распределений наступит кризис, при котором очередь до вновь вошедшего покупателя не дойдет никогда? Если задуматься над этой относительно простой задачей, возможные вопросы будут множиться.

Способ моделирования выглядит в общих чертах так. Используемые математические формулы - законы распределения исходных случайных величин; используемые числовые константы - эмпирические параметры, входящие в эти формулы. Не решается никаких уравнений, которые использовались бы при аналитическом исследовании данной задачи. Вместо этого происходит имитация очереди, разыгрываемая с помощью компьютерных программ, генерирующих случайные числа с заданными законами распределения. Затем производится статистическая обработка совокупности полученных значений величин, определяемых заданными целями моделирования. Например, находится оптимальное количество продавцов для разных периодов времени работы магазина, которое обеспечит отсутствие очередей. Математический аппарат, который здесь используется, называется методами математической статистики .

В статье “Моделирование экологических систем и процессов” 2 описан другой пример имитационного моделирования: одна из многих моделей системы “хищник-жертва”. Особи видов, находящихся в указанных отношениях, по определенным правилам, содержащим элементы случайности, перемещаются, хищники съедают жертв, и те и другие размножаются и т.д. Такая модель не содержит никаких математических формул, но требует статистической обработки результатов.

Пример алгоритма детерминированной имитационной модели

Рассмотрим имитационную модель эволюции популяции живых организмов, известную под названием “Жизнь”, которую легко реализовать на любом языке программирования.

Для построения алгоритма игры рассмотрим квадратное поле из n + 1 столбцов и строк с обычной нумерацией от 0 до n . Крайние граничные столбцы и строки для удобства определим как “мертвую зону”, они играют лишь вспомогательную роль.

Для любой внутренней клетки поля с координатами (i , j ) можно определить 8 соседей. Если клетка “живая”, ее закрашиваем, если клетка “мертвая”, она пустая .

Зададим правила игры. Если клетка (i , j ) “живая” и ее окружает более трех “живых” клеток, она погибает (от перенаселения). “Живая” клетка также погибает, если в ее окружении находится менее двух “живых” клеток (от одиночества). “Мертвая” клетка оживает, если вокруг нее появляются три “живые” клетки.

Для удобства введем двумерный массив A , элементы которого принимают значение 0, если соответствующая клетка пустая, и 1, если клетка “живая”. Тогда алгоритм определения состояния клетки с координатой (i , j ) можно определить следующим образом:

S:= А + А +

А + А

А + А +

А + А;

If (А = 1) And ((S > 3) Or

(S <)) Then B := 0;

If (A = 0) And (S = 3)

Then B := 1;

Здесь массив B определяет координаты поля на следующем этапе. Для всех внутренних клеток от i = 1 до n – 1 и j = 1 до n – 1 справедливо сказанное выше. Отметим, что последующие поколения определяются аналогично, стоит лишь осуществить процедуру переприсваивания:

For I:= 1 To N - 1 Do

For J:= 1 To N - 1 Do

A := B;

На экране дисплея удобнее выводить состояние поля не в матричном, а в графическом виде.

Осталось лишь определить процедуру задания начальной конфигурации игрового поля. При случайном определении начального состояния клеток подходит алгоритм

For I:= 1 To K Do

Begin K1:= Random(N - 1);

K2:= Random(N - 1) + 1;

Интереснее для пользователя самому задавать начальную конфигурацию, что легко осуществить. В результате экспериментов с этой моделью можно найти, например, устойчивые расселения живых организмов, которые никогда не погибают, оставаясь неизменными или изменяя свою конфигурацию с определенным периодом. Абсолютно неустойчивым (гибнущим во втором поколении) является расселение “крестом”.

В базовом курсе информатики ученики могут реализовать имитационную модель “Жизнь” в рамках раздела “Введение в программирование”. Более основательное освоение имитационного моделирования может происходить в старших классах в профильном или элективном курсе информатики. Далее будет говориться о таком варианте.

Начало изучения - лекция об имитационном моделировании случайных процессов. В российской школе понятия теории вероятностей и математической статистики лишь начинают внедряться в курс математики, и учителю следует быть готовым к тому, чтобы самому сделать введение в этот важнейший для формирования мировоззрения и математической культуры материал. Подчеркнем, что речь идет об элементарном введении в круг обсуждаемых понятий; это можно сделать за 1–2 часа.

Потом обсуждаем технические вопросы, связанные с генерацией на ЭВМ последовательностей случайных чисел с заданным законом распределения. Опираться при этом можно на то, что в каждом универсальном языке программирования есть датчик равномерно распределенных на отрезке от 0 до 1 случайных чисел. На данном этапе нецелесообразно вдаваться в сложный вопрос о принципах его реализации. Опираясь на имеющиеся датчики случайных чисел, показываем, как можно устроить

а) генератор равномерно распределенных случайных чисел на любом отрезке [a , b ];

б) генератор случайных чисел под практически любой закон распределения (например, используя интуитивно ясный метод “отбора-отказа”).

Начать рассмотрение описанной выше задачи массового обслуживания целесообразно с обсуждения истории решения проблем массового обслуживания (задача Эрланга об обслуживании запросов на телефонной станции). Затем следует рассмотрение простейшей задачи, которую можно сформулировать на примере формирования и обслуживания очереди в магазине с одним продавцом. Отметим, что на первом этапе моделирования распределения случайных величин на входе можно принять равновероятными, что хоть и не реалистично, но снимает ряд трудностей (для генерации случайных чисел можно просто использовать встроенный в язык программирования датчик).

Обращаем внимание учащихся на то, какие вопросы ставятся в первую очередь при моделировании систем такого вида. Во-первых, это вычисление средних значений (математических ожиданий) некоторых случайных величин. Например, какое среднее время приходится стоять в очереди к прилавку? Или: найти среднее время, проведенное продавцом в ожидании покупателя.

Задача учителя, в частности, состоит в том, чтобы разъяснить, что выборочные средние сами по себе - случайные величины; в другой выборке того же объема они будут иметь другие значения (при больших объемах выборки - не слишком отличающиеся друг от друга). Далее возможны варианты: в более подготовленной аудитории можно показать способ оценивания доверительных интервалов, в которых находятся математические ожидания соответствующих случайных величин при заданных доверительных вероятностях (известными из математической статистики методами без попытки обоснования). В менее подготовленной аудитории можно ограничиться чисто эмпирическим утверждением: если в нескольких выборках равного объема средние значения совпали в некотором десятичном знаке, то этот знак скорее всего верен. Если при моделировании не удается достичь желаемой точности, следует увеличить объем выборки.

В еще более подготовленной в математическом отношении аудитории можно ставить вопрос: каково распределение случайных величин, являющихся результатами статистического моделирования, при заданных распределениях случайных величин, являющихся его входными параметрами? Поскольку изложение соответствующей математической теории в данном случае невозможно, следует ограничиться эмпирическими приемами: построение гистограмм итоговых распределений и сравнение их с несколькими типичными функциями распределения.

После отработки первичных навыков указанного моделирования переходим к более реалистической модели, в которой входные потоки случайных событий распределены, например, по Пуассону. Это потребует от учащихся дополнительно освоить метод генерирования последовательностей случайных чисел с указанным законом распределения.

В рассмотренной задаче, как и в любой более сложной задаче об очередях, может возникнуть критическая ситуация, когда очередь неограниченно растет со временем. Моделирование приближения к критической ситуации по мере возрастания одного из параметров - интересная исследовательская задача для наиболее подготовленных учащихся.

На примере задачи об очереди отрабатываются сразу несколько новых понятий и навыков:

· понятия о случайных процессах;

· понятия и простейшие навыки имитационного моделирования;

· построение оптимизационных имитационных моделей;

· построение многокритериальных моделей (путем решения задач о наиболее рациональном обслуживании покупателей в сочетании с интересами владельца магазина).

3. Математические модели

Математическая модель - приближенное описание объекта моделирования, выраженное с помощью математической символики .

Математические модели появились вместе с математикой много веков назад. Огромный толчок развитию математического моделирования придало появление ЭВМ. Применение вычислительных машин позволило проанализировать и применить на практике многие математические модели, которые раньше не поддавались аналитическому исследованию. Реализованная на компьютере математическая модель называется компьютерной математической моделью , а проведение целенаправленных расчетов с помощью компьютерной модели называется вычислительным экспериментом .

Этапы компьютерного математического моделирования изображены на рисунке. Первый этап - определение целей моделирования . Эти цели могут быть различными:

1) модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание);

2) модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);

3) модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

Поясним на примерах. Пусть объект исследования - взаимодействие потока жидкости или газа с телом, являющимся для этого потока препятствием. Опыт показывает, что сила сопротивления потоку со стороны тела растет с ростом скорости потока, но при некоторой достаточно высокой скорости эта сила скачком уменьшается с тем, чтобы с дальнейшим увеличением скорости снова возрасти. Что же вызвало уменьшение силы сопротивления? Математическое моделирование позволяет получить четкий ответ: в момент скачкообразного уменьшения сопротивления вихри, образующиеся в потоке жидкости или газа позади обтекаемого тела, начинают отрываться от него и уноситься потоком.

Пример совсем из другой области: мирно сосуществовавшие со стабильными численностями популяции двух видов особей, имеющих общую кормовую базу, “вдруг” начинают резко менять численность. И здесь математическое моделирование позволяет (с известной долей достоверности) установить причину (или по крайней мере опровергнуть определенную гипотезу).

Выработка концепции управления объектом - другая возможная цель моделирования. Какой режим полета самолета выбрать для того, чтобы полет был безопасным и экономически наиболее выгодным? Как составить график выполнения сотен видов работ на строительстве большого объекта, чтобы оно закончилось в максимально короткий срок? Множество таких проблем систематически возникает перед экономистами, конструкторами, учеными.

Наконец, прогнозирование последствий тех или иных воздействий на объект может быть как относительно простым делом в несложных физических системах, так и чрезвычайно сложным - на грани выполнимости - в системах биолого-экономических, социальных. Если ответить на вопрос об изменении режима распространения тепла в тонком стержне при изменениях в составляющем его сплаве относительно легко, то проследить (предсказать) экологические и климатические последствия строительства крупной ГЭС или социальные последствия изменений налогового законодательства несравненно труднее. Возможно, и здесь методы математического моделирования будут оказывать в будущем более значительную помощь.

Второй этап: определение входных и выходных параметров модели; разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием, или разделением по рангам (см. “Формализация и моделирование ”).

Третий этап: построение математической модели. На этом этапе происходит переход от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое представление. Математическая модель - это уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциальные уравнения или системы таких уравнений и пр.

Четвертый этап: выбор метода исследования математической модели. Чаще всего здесь используются численные методы, которые хорошо поддаются программированию. Как правило, для решения одной и той же задачи подходит несколько методов, различающихся точностью, устойчивостью и т.д. От верного выбора метода часто зависит успех всего процесса моделирования.

Пятый этап: разработка алгоритма, составление и отладка программы для ЭВМ - трудно формализуемый процесс. Из языков программирования многие профессионалы для математического моделирования предпочитают FORTRAN: как в силу традиций, так и в силу непревзойденной эффективности компиляторов (для расчетных работ) и наличия написанных на нем огромных, тщательно отлаженных и оптимизированных библиотек стандартных программ математических методов. В ходу и такие языки, как PASCAL, BASIC, C, - в зависимости от характера задачи и склонностей программиста.

Шестой этап: тестирование программы. Работа программы проверяется на тестовой задаче с заранее известным ответом. Это - лишь начало процедуры тестирования, которую трудно описать формально исчерпывающим образом. Обычно тестирование заканчивается тогда, когда пользователь по своим профессиональным признакам сочтет программу верной.

Седьмой этап: собственно вычислительный эксперимент, в процессе которого выясняется, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель достаточно адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментально полученными характеристиками с заданной степенью точности. В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаемся к одному из предыдущих этапов.

Классификация математических моделей

В основу классификации математических моделей можно положить различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.). Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.). Наконец, если исходить из общих задач моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, наиболее естественна такая классификация:

· дескриптивные (описательные) модели;

· оптимизационные модели;

· многокритериальные модели;

· игровые модели.

Поясним это на примерах.

Дескриптивные (описательные) модели. Например, моделирование движения кометы, вторгшейся в Солнечную систему, производится с целью предсказания траектории ее полета, расстояния, на котором она пройдет от Земли, и т.д. В этом случае цели моделирования носят описательный характер, поскольку нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то в нем изменить.

Оптимизационные модели используются для описания процессов, на которые можно воздействовать, пытаясь добиться достижения заданной цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, можно задаться целью подобрать такой режим, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т.е. оптимизировать процесс хранения.

Многокритериальные модели. Нередко приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам одновременно, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, нужно организовать питание больших групп людей (в армии, детском летнем лагере и др.) физиологически правильно и, одновременно с этим, как можно дешевле. Ясно, что эти цели совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет использоваться несколько критериев, между которыми нужно искать баланс.

Игровые модели могут иметь отношение не только к компьютерным играм, но и к весьма серьезным вещам. Например, полководец перед сражением при наличии неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника. Есть специальный раздел современной математики - теория игр, - изучающий методы принятия решений в условиях неполной информации.

В школьном курсе информатики начальное представление о компьютерном математическом моделировании ученики получают в рамках базового курса. В старших классах математическое моделирование может глубоко изучаться в общеобразовательном курсе для классов физико-математического профиля, а также в рамках специализированного элективного курса.

Основными формами обучения компьютерному математическому моделированию в старших классах являются лекционные, лабораторные и зачетные занятия. Обычно работа по созданию и подготовке к изучению каждой новой модели занимает 3–4 урока. В ходе изложения материала ставятся задачи, которые в дальнейшем должны быть решены учащимися самостоятельно, в общих чертах намечаются пути их решения. Формулируются вопросы, ответы на которые должны быть получены при выполнении заданий. Указывается дополнительная литература, позволяющая получить вспомогательные сведения для более успешного выполнения заданий.

Формой организации занятий при изучении нового материала обычно служит лекция. После завершения обсуждения очередной модели учащиеся имеют в своем распоряжении необходимые теоретические сведения и набор заданий для дальнейшей работы. В ходе подготовки к выполнению задания учащиеся выбирают подходящий метод решения, с помощью какого-либо известного частного решения тестируют разработанную программу. В случае вполне возможных затруднений при выполнении заданий дается консультация, делается предложение более детально проработать указанные разделы в литературных источниках.

Наиболее соответствующим практической части обучения компьютерному моделированию является метод проектов. Задание формулируется для ученика в виде учебного проекта и выполняется в течение нескольких уроков, причем основной организационной формой при этом являются компьютерные лабораторные работы. Обучение моделированию с помощью метода учебных проектов может быть реализовано на разных уровнях. Первый - проблемное изложение процесса выполнения проекта, которое ведет учитель. Второй - выполнение проекта учащимися под руководством учителя. Третий - самостоятельное выполнение учащимися учебного исследовательского проекта.

Результаты работы должны быть представлены в численном виде, в виде графиков, диаграмм. Если имеется возможность, процесс представляется на экране ЭВМ в динамике. По окончанию расчетов и получению результатов проводится их анализ, сравнение с известными фактами из теории, подтверждается достоверность и проводится содержательная интерпретация, что в дальнейшем отражается в письменном отчете.

Если результаты удовлетворяют ученика и учителя, то работа считается завершенной, и ее конечным этапом является составление отчета. Отчет включает в себя краткие теоретические сведения по изучаемой теме, математическую постановку задачи, алгоритм решения и его обоснование, программу для ЭВМ, результаты работы программы, анализ результатов и выводы, список использованной литературы.

Когда все отчеты составлены, на зачетном занятии учащиеся выступают с краткими сообщениями о проделанной работе, защищают свой проект. Это является эффективной формой отчета группы, выполняющей проект, перед классом, включая постановку задачи, построение формальной модели, выбор методов работы с моделью, реализацию модели на компьютере, работу с готовой моделью, интерпретацию полученных результатов, прогнозирование. В итоге учащиеся могут получить две оценки: первую - за проработанность проекта и успешность его защиты, вторую - за программу, оптимальность ее алгоритма, интерфейс и т.д. Учащиеся получают отметки и в ходе опросов по теории.

Существенный вопрос - каким инструментарием пользоваться в школьном курсе информатики для математического моделирования? Компьютерная реализация моделей может быть осуществлена:

· с помощью табличного процессора (как правило, MS Excel);

· путем создания программ на традиционных языках программирования (Паскаль, Бейсик и др.), а также на их современных версиях (Delphi, Visual Basic for Application и т.п.);

· с помощью специальных пакетов прикладных программ для решения математических задач (MathCAD и т.п.).

На уровне основной школы первое средство представляется более предпочтительным. Однако в старшей школе, когда программирование является, наряду с моделированием, ключевой темой информатики, желательно привлекать его в качестве инструмента моделирования. В процессе программирования учащимся становятся доступными детали математических процедур; более того, они просто вынуждены их осваивать, а это способствует и математическому образованию. Что же касается использования специальных пакетов программ, то это уместно в профильном курсе информатики в качестве дополнения к другим инструментам.

4. Моделирование глобальных процессов

Модели, используемые в различных науках (физике, биологии, экономике и др.), представляют собой математические образы относительно обособленных процессов и явлений. Каждая из них позволяет решать задачи, важные для конкретной науки или вида деятельности. Но все это по своей общечеловеческой важности уступает самому значительному для людей вопросу: каково ближайшее будущее человечества как вида в целом? Как будет развиваться мир в обозримом будущем? Подчеркнем, что речь идет не о политических или экономических прогнозах для какой-то конкретной страны или общества, а о человечестве в целом - какое у него (у нас всех, живущих на Земле) будущее?

Люди в текущей жизни имеют много конкретных проблем и мало склонны к таким общим размышлениям. Жизнь отдельного человека слишком коротка, и еще век-другой назад глобальные изменения в мире на протяжении жизни одного человека были мало заметны, даже если он жил в достаточно бурную эпоху. Но в XX веке темпы событий ускорились так, как никогда в истории человечества. Все чаще стали звучать предсказания грядущих глобальных катастроф: гибель природы из-за промышленных загрязнений, появления “озоновых дыр” в защищающей нас от космических излучений стратосфере, истощение средств воспроизведения кислорода из-за массовой вырубки лесов и т.д. Даже не столь катастрофическое событие - например, истощение природных ископаемых - может привести к радикальным переменам в образе жизни человечества, и в первую очередь в странах, которые сегодня являются наиболее промышленно развитыми.

Будущее человечества определяется огромным количеством процессов, частично им контролируемых, частично нет, и эти процессы настолько взаимосвязаны и имеют столь противоречивые последствия, что лишь математическое моделирование их во всей разумной совокупности, реализуемое на современных компьютерах, может дать качественно верный прогноз. Как бы велико ни было неизбежное огрубление реальности при таком моделировании, факторов первостепенного значения так много, что проследить их взаимодействие не под силу даже самому могучему уму.

Соответствующие модели, получившие название глобальных (всеохватывающих), впервые возникли в 70-х годах прошлого века. Наиболее известны модели WORLD-1 (МИР-1), WORLD-2, WORLD-3, сформулированные и изученные группой сотрудников Массачусетсского технологического института (США) под руководством Д.Х. Медоуз и Д.Форрестера. Результаты их работ в свое время произвели в мире сенсацию, ибо большинство сценариев возможного развития событий вели к финалам, которые можно назвать концом света (разумеется, с точки зрения человечества). Вместе с тем авторы не раз подчеркивали, что речь идет не о заведомо предопределенном будущем, а о выборе путей развития человечества, среди которых есть и ведущие к стабильности, к благополучному существованию человечества.

Что может являться причиной возможной нестабильности? Характерной чертой жизни человечества в эпоху после начала промышленной революции стал быстрый - часто экспоненциально быстрый - рост многих показателей. Период удвоения численности населения Земли составляет примерно 40 лет (наличие такого постоянного периода - характерная черта экспоненциального роста). Биологи и экологи хорошо знают, что экспоненциальное наращивание численности популяции чаще всего кончается катастрофой - истощаются источники, поддерживающие ее существование. С точки зрения существования вида это не трагедия (кроме уникальных случаев, когда данный вид весь сводится к одной популяции). Однако в наше время человечество израсходовало почти все ресурсы для экстенсивного роста и распространения “вширь”. Объем промышленного производства в XX веке также возрастал практически экспоненциально с годовым темпом прироста в среднем на 3,3%. Это приводит к истощению природных ресурсов - полезных ископаемых, чистой воды, чистого воздуха. Содержание в атмосфере одного из устойчивых соединений углерода (диоксида) в результате сжигания органического топлива и истощения лесов возросло с начала века на треть; потенциально это ведет к глобальному потеплению на Земле с самыми катастрофическими последствиями. Чем больше людей, тем больше необходимо продуктов питания, и мировой объем вносимых минеральных удобрений растет экспоненциально с периодом удвоения около 15 лет. Ясно и без всякого моделирования, что подобная жизнь с безудержным ростом всего и вся не может длиться долго - а ныне “долго” сопоставимо со сроком жизни двух-трех поколений.

Трудность отслеживания последствий такого хода событий еще и в том, что каждый отдельно взятый глобальный процесс нельзя однозначно назвать “хорошим” или “плохим” с точки зрения влияния на судьбу человечества. Например, увеличение производства удобрений ведет к увеличению производства продуктов питания - это “хорошо”. Но “плохо”, что тот же процесс ведет к уменьшению запасов чистой пресной воды, которую портят удобрения, попадающие через почву с дождями в реки и подземные источники. Помимо этого, увеличение производства удобрений ведет к необходимости увеличения производства энергии и связанному с этим химическому и тепловому загрязнению почвы, атмосферы и т.д. Взвесить влияние подобных ситуаций на развитие человечества можно лишь путем комплексного учета одновременно всех факторов.

Существуют ли возможности избежать катастрофических последствий для развития человечества? В результате моделирования были сформулированы следующие три правила, соблюдение которых, по мнению авторов моделей, необходимо для глобальной устойчивости:

1. Для возобновляемых ресурсов (лес, вода, рыба и т.д.) темпы потребления не должны превышать темпов естественного восстановления.

2. Для невозобновляемых ресурсов (уголь, нефть, руды и т.д.) темпы потребления не должны превышать темпов их замены на возобновляемые (развитие солнечной и ветровой энергетики, посадка лесов и т.д.) и темпов развития новых технологий для обеспечения смены ресурсов; чтобы после исчезновения, к примеру, нефти был обеспечен приток энергии от нового ресурса.

3. Для загрязняющих веществ предельная интенсивность выбросов не должна превышать темпов, с которыми эти вещества перерабатываются или теряют вредные для окружающей среды свойства.

В настоящее время человечество, к сожалению, не руководствуется этими правилами. Если в прошлые века это не представляло опасности для вида в целом, то в наши дни ситуация изменилась.

Опишем коротко одну из глобальных моделей - WORLD-3 (МИР-3). Модель состоит из пяти секторов:

· стойкие загрязнения;

· невозобновляемые ресурсы;

· население;

· сельское хозяйство (производство продуктов питания, плодородие земель, освоение земель);

· экономика (промышленное производство, производство услуг, рабочие места).

Исходными являются первичные взаимосвязи, такие, как:

· численность населения и запасы промышленного капитала;

· численность населения и площадь возделываемых земель;

· площадь возделываемых земель и объем промышленного капитала;

· численность населения и капитал сектора услуг;

· капитал сектора услуг и промышленный капитал и т.д.

В каждом секторе прослеживаются все первичные взаимосвязи и выражаются математическими соотношениями. По мере необходимости учитываются процессы материального и информационного запаздывания, так как реакция, скажем, численности населения на улучшение питания является не мгновенной, а запаздывающей. Это типично для большинства рассматриваемых процессов.

Модель WORLD-3 носит черты дескриптивные и оптимизационные. Ее основное назначение - представить возможные пути достижения экономикой (в широком смысле термина) такой численности населения планеты, которая может поддерживаться окружающей средой неопределенно долгое время. Она не предсказывает развитие конкретной страны, не решает никаких локальных вопросов. Модель исходит из того, что на Земле существует глобальное сообщество.

Динамика численности населения - интегральная характеристика, которая вбирает в себя все факторы. Чисто умозрительно возможны два типа устойчивых динамик (непрерывный рост или плавное приближение к равновесию) и три типа неустойчивых, связанных с выходом за пределы допустимого (колебания с последующим выходом на стационар, хаотические колебания и коллапс, т.е. исчезновение вида). Непрерывный рост представляется совершенно нереалистическим, последняя из неустойчивых динамик - трагедией для человечества, а за резкими колебаниями, как нетрудно догадаться, стоят войны, эпидемии, голод - то, что часто происходит в реальности.

Типичные для модели WORLD взаимосвязи, находящие выражения математическими средствами (дифференциальными и “обычными” уравнениями), приведены на рисунке. Он демонстрирует связи между численностью населения, промышленным капиталом, площадью возделываемых земель и загрязнением окружающей среды. Каждая стрелка на рисунке указывает наличие причинной связи, которая может быть непосредственной или запаздывающей, положительной или отрицательной.

Контуры обратных связей чсленности населения, капитала, сельскохозяйственного производства и загрязнения окружающей среды

Понятия положительной и отрицательной обратной связи взяты из теории автоматического регулирования (раздела кибернетики). Причинно-следственная связь между двумя элементами называется отрицательной , если изменение одного элемента передается второму, возвращается от него к первому и изменяет его в направлении, противоположном первоначальному (подавляет), и положительной , если это изменение, возвращаясь к первому, усиливает его. Если элементов не два, а больше, то говорят о контуре обратной связи , через которую сигнал проходит по кругу, возвращаясь к источнику и влияя на него.

Некоторый набор таких рисунков графически исчерпывает модель WORLD. Однако за каждой стрелкой - первичные взаимосвязи, а за каждой из них - уравнения, в которые входит ряд параметров. Фактически именно значения этих параметров и определяют результаты, поэтому к их анализу привлекаются как многочисленные узкие специалисты, так и многие эмпирические (статистические) данные, собранные в десятках справочников, отчетов ООН и отдельных государств. Количество взаимосвязанных переменных в модели WORLD-3 равно 225, параметров - еще больше.

Результаты глобального моделирования

Опубликованные “сценарии” развития человечества, следующие из моделей WORLD, охватывают промежуток времени от 1900 до 2100 года. Первые 100 лет, уже прошедшие, позволяют “настраивать” модель, определить степень ее достоверности.

Первый из сценариев основан на гипотезе, что все будет развиваться без серьезных изменений, глобальных политических катаклизмов, без особых усилий по сохранению ресурсов и уменьшению загрязнения окружающей среды. Модель предсказывает катастрофические результаты такого развития.

Вместе с тем модель WORLD позволяет найти пути регулируемого развития, которое ведет к плавному (“сигмоидному”) поведению основных переменных. Этот путь связан с самоограничениями и переходом на усовершенствованные промышленные и сельскохозяйственные технологии.

5. Моделирование процессов оптимального планирования

Постановка задачи оптимального планирования

Планирование - важнейший этап экономической и управленческой деятельности. Объектом планирования может быть деятельность подразделения или всего предприятия, отрасли промышленности или сельского хозяйства, региона, наконец, государства.

Постановка задачи планирования в общем случае выглядит следующим образом:

· имеются некоторые плановые показатели: X , Y , …;

· имеются некоторые ресурсы: R 1, R 2, …, за счет которых эти плановые показатели могут быть достигнуты;

· имеется определенная стратегическая цель, зависящая от значений плановых показателей, на которую следует ориентировать планирование.

Задача оптимального планирования заключается в определении значений плановых показателей с учетом ограниченности ресурсов при условии достижения стратегической цели.

Приведем примеры. Пусть объектом планирования является детский сад. Ограничимся лишь двумя плановыми показателями: числом детей и числом воспитателей. Основными ресурсами деятельности детского сада являются размер финансирования и размер помещения. А каковы стратегические цели? Естественно, одной из них является сохранение и укрепление здоровья детей. Количественной мерой этой цели является минимизация заболеваемости воспитанников детского сада.

Другой пример: планирование экономической деятельности государства. Безусловно, это слишком сложная задача для детального анализа. Плановых показателей очень много: это производство различных видов промышленной и сельскохозяйственной продукции, подготовка специалистов, выработка электроэнергии, размер зарплаты работников бюджетной сферы и многое другое. К ресурсам относятся: количество работоспособного населения, бюджет государства, природные ресурсы, энергетика, возможности транспортных систем и пр. Разумеется, каждый из этих видов ресурсов ограничен. Кроме того, важнейшим ресурсом является время, отведенное на выполнение плана.

Вопрос о стратегических целях в этом случае очень сложен. У государства их много, но в разные периоды истории приоритеты могут меняться. Например, в военное время главной целью является максимальная обороноспособность, военная мощь страны. В мирное время в современном цивилизованном государстве приоритетной целью должно быть достижение максимального уровня жизни населения.

Решение задач оптимального планирования чаще всего является сложным и недоступным при использовании лишь человеческого опыта (эмпирических методов). Для решения таких задач строится математическая модель , устанавливающая связь между параметрами задачи. Следовательно, оптимальное планирование осуществляется путем применения математического моделирования. Как правило, такие модели для реальных ситуаций не поддаются аналитическому решению, поэтому используются численные методы решения, реализуемые на компьютере.

Пример математической модели оптимального планирования

Рассмотрим простой пример, с помощью которого можно получить представление об одном из классов задач оптимального планирования.

Школьный кондитерский цех готовит пирожки и пирожные. В силу ограниченности емкости склада за день можно приготовить в совокупности не более 700 изделий. Рабочий день в кондитерском цехе длится 8 часов. Поскольку производство пирожных более трудоемко, то, если выпускать только их, за день можно произвести не более 250, пирожков же можно произвести 1000 (если при этом не выпускать пирожных). Стоимость пирожного вдвое выше, чем пирожка. Требуется составить дневной план производства, обеспечивающий кондитерскому цеху наибольшую выручку.

Сформулируем эту задачу математически. Плановыми показателями являются:

x - дневной план выпуска пирожков;

y - дневной план выпуска пирожных.

Ресурсы производства - это:

· длительность рабочего дня - 8 часов;

· вместимость складского помещения - 700 мест.

Получим соотношения, следующие из условий ограниченности времени работы цеха и вместимости склада, т.е. суммарного числа изделий. Из постановки задачи следует, что на изготовление одного пирожного затрачивается в 4 раза больше времени, чем на 1 пирожок. Если обозначить время изготовления пирожка t мин., то время изготовления пирожного равно 4t мин. Стало быть, суммарное время на изготовление x пирожков и y пирожных равно tx + 4ty = (x + 4y )t. Но это время не может быть больше длительности рабочего дня. Отсюда следует неравенство (x + 4y )t 8 ? 60, или (x + 4y )t 480.

Поскольку за рабочий день может быть изготовлено 1000 пирожков, то на один тратится 480/1000 = 0,48 мин. Подставляя это значение в неравенство, получим: (x + 4y ) ? 0,48 480. Отсюда x + 4y 1000. Ограничение на общее число изделий дает очевидное неравенство x + y 700.

К двум полученным неравенствам следует добавить условия положительности значений величин x и y (не может быть отрицательного числа пирожков и пирожных). В итоге мы получили систему неравенств:

x + 4y 1000, x + y 700, x 0, y 0 ()

Формализуем стратегическую цель: получение максимальной выручки. Выручка - это стоимость всей проданной продукции. Пусть цена одного пирожка r рублей. По условию задачи, цена пирожного в два раза больше, т.е. 2r рублей. Отсюда стоимость всей произведенной за день продукции равна rx + 2ry = r (x + 2y ). Целью производства является получение максимальной выручки. Будем рассматривать записанное выражение как функцию от x , y : F (x, y ) = r (x + 2y ). Поскольку r - константа, то максимальное значение F (x, y ) будет достигнуто при максимальной величине выражения x + 2y. Поэтому в качестве функции, максимум которой соответствует стратегической цели, можно принять

f (x , y ) = x + 2y ()

Следовательно, получение оптимального плана свелось к следующей математической задаче: найти значения плановых показателей x и y, удовлетворяющих системе неравенств () и придающих максимальное значение целевой функции ().

Приведенный выше пример относится к классу задач линейного программирования . В теории оптимального планирования существует несколько классов задач, из которых линейное программирование - самый простой вариант. Изучение математических методов решения таких задач выходит за рамки целей школьного образования.

Вместе с тем было бы не логично ограничиться лишь теоретической постановкой задач оптимального планирования. Современные информационные технологии позволяют решать некоторые задачи оптимального планирования (и, в частности, линейного программирования) без проникновения в существо применяемых математических методов. В частности, такие средства имеются в табличном процессоре Excel, и на их основе можно продемонстрировать ученикам приемы решения конкретных задач. Средство, о котором идет речь, называется Поиск решения.Соответствующая команда находится в меню Сервис. Опишем кратко, как воспользоваться указанным средством для решения поставленной выше задачи.

Вначале подготовим таблицу к решению задачи оптимального планирования.

Ячейки B5 и C5 зарезервированы, соответственно, для значений x (план по изготовлению пирожков) и y (план по изготовлению пирожных). Левые части неравенств в столбце В, правые - в столбце D; знаки “<=” и т.д. в столбце С программой реально не используются. Целевая функция занесена в ячейку В15.

Вызовем программу оптимизации и сообщим ей, где расположены данные. Для этого выполним команду Ю Сервис Ю Поиск решения. На экране откроется соответствующая форма. Будем действовать по следующему алгоритму:

1. Введем координату ячейки с целевой функцией. В нашем случае это В15. (Заметим, что если перед этим установить курсор на ячейку В15, то ввод произойдет автоматически.)

2. Поставим отметку “Равной максимальному значению”, т.е. сообщим программе, что нас интересует нахождение максимума целевой функции.

3. В поле “Изменяя ячейки” введем В5:С5, т.е. сообщим, какое место отведено под значения переменных - плановых показателей.

4. В поле “Ограничения” надо ввести информацию о неравенствах-ограничениях, которые имеют вид: B10<=D10; B11<=D11; B12>=D12; B13>=D13. Ограничения вводятся следующим образом:

· щелкнуть по кнопке “Добавить”;

· в появившемся диалоговом окне “Добавление ограничения” вводим ссылку на ячейку В10, выбираем из меню знак неравенства “<=” и вводим ссылку на ячейку D10; снова щелкаем по кнопке “Добавить”, аналогично вводим второе ограничение B11<=D11 и т.д.

5. Закрываем диалоговое окно “Добавление ограничения”. Перед нами - подготовленная форма “Поиск решения”.

6. Щелкаем по кнопке “Выполнить” - в ячейках В5 и С5 появляется оптимальное решение (числа 600 и 100), а также число 800 в ячейке В15 - максимальное значение целевой функции.

6. Моделирование физических систем и процессов

Физическая наука неразрывно связана с математическим моделированием со времен Исаака Ньютона (XVII–XVIII вв.). И.Ньютон открыл фундаментальные законы механики, закон всемирного тяготения, описав их на языке математики. И.Ньютон (наряду с Г.Лейбницем) разработал дифференциальное и интегральное исчисления, ставшие основой математического аппарата физики. Все последующие физические открытия (в термодинамике, электродинамике, атомной физике и пр.) представлялись в форме законов и принципов, описываемых на математическом языке, т.е. в форме математических моделей.

Можно сказать, что решение любой физической задачи теоретическим путем есть математическое моделирование . Однако возможность теоретического решения задачи ограничивается степенью сложности ее математической модели. Математическая модель тем сложнее, чем сложнее описываемый с ее помощью физический процесс, и тем проблематичнее становится использование такой модели для расчетов.

В простейшей ситуации решение задачи можно получить “вручную” аналитически. В большинстве же практически важных ситуаций найти аналитическое решение не удается из-за математической сложности модели. В таком случае используются численные методы решения задачи, эффективная реализация которых возможна только на компьютере. Иначе говоря, физические исследования на основе сложных математических моделей производятся путем компьютерного математического моделирования . В связи с этим в ХХ веке наряду с традиционным делением физики на теоретическую и экспериментальную возникло новое направление - “вычислительная физика”.

Исследование на компьютере физических процессов называют вычислительным экспериментом. Тем самым вычислительная физика прокладывает мост между теоретической физикой, из которой она черпает математические модели, и экспериментальной физикой, реализуя виртуальный физический эксперимент на компьютере. Использование компьютерной графики при обработке результатов вычислений обеспечивает наглядность этих результатов, что является важнейшим условием для их восприятия и интерпретации исследователем.

Пример математического моделирования физического процесса

Основным законом механики является второй закон Ньютона, связывающий силу, действующую на тело, его массу и ускорение, получаемое в результате действия силы. В школьной физике этот закон представляется в следующем виде:

При этом подразумевается, что сила и масса - постоянные величины. В таком случае и ускорение тоже будет постоянной величиной. Следовательно, уравнение (1) моделирует равноускоренное движение тела с постоянной массой под действием постоянной силы.

Применимость такой модели ограничена. Ее нельзя использовать для расчета движения тел с переменной массой и переменной силой. Например, при полете ракеты ее масса уменьшается за счет выгорания топлива, т.е. масса является функцией времени: m (t ). Вследствие этого ускорение тоже становится переменной величиной и математическая модель изменится:

Учтем, что ускорение - это производная от скорости (v ) по времени, и опишем функцию изменения массы со временем (пусть она будет линейной); получим следующую математическую модель движения:

(2)

Здесь m 0 - начальная масса ракеты, q (кг/с) - параметр, определяющий скорость сгорания топлива. Уравнение (2) - это дифференциальное уравнение, в отличие от линейного алгебраического уравнения (1). Математическая модель усложнилась! Решать уравнение (2) значительно сложнее, чем (1). Если же учесть еще и возможность изменения со временем силы F (t ) (сила тяги ракетного двигателя в процессе запуска - переменная величина), то модель станет еще сложнее:

(3)

При движении тел в атмосфере (или в жидкой среде) необходимо учитывать сопротивление среды - силу трения. Сила трения имеет две составляющие: пропорциональную первой степени скорости тела и пропорциональную ее квадрату. Теперь уравнение движения примет вид:

, (4), (5)

Здесь k 1 и k 2 - эмпирические коэффициенты. Уравнение (5) связывает скорость с перемещением. Модель (4)–(5) стала ближе к физически реальной ситуации, но сложнее с математической точки зрения. Используя ее, можно получить ответы на практически важные вопросы. Например: при заданной F (t ) определить, через сколько времени и на какой высоте ракета достигнет первой космической скорости. Или решить обратную задачу: какой должна быть сила тяги двигателя для того, чтобы на заданной высоте ракета достигла первой космической скорости? Если учитывать еще тот факт, что коэффициенты k 1 и k 2 - переменные величины, поскольку они зависят от плотности атмосферного воздуха, которая уменьшается с высотой, математическая модель (4)–(5) становится достаточно сложной. Решение на основе такой модели задач, сформулированных выше, требует использования численных методов и компьютера.

Применение численных методов

Численные методы - это методы, сводящие решение любой математической задачи к арифметическим вычислениям . Покажем применение численного метода решения на примере более простой задачи механики, чем задача о полете ракеты. Рассмотрим задачу о свободном падении тела постоянной массы m под действием постоянной силы тяжести. Уравнения движения с учетом сопротивления воздуха (об этом говорилось выше) имеют вид:

, (6)

Здесь v - вертикальная составляющая вектора скорости. Пусть начальная высота тела над землей равна s 0 , а начальная скорость - v 0 .

Покажем применение метода, который называется методом Эйлера, к расчету движения падающего тела. Расчет производится от начального момента времени t = 0 с малым конечным шагом по времени

(n = 0, 1, 2, …). (8)

Применяя аналогичный подход к уравнению (7), получаем формулу метода Эйлера для вычисления перемещения падающего тела со временем:

Имея начальные значения скорости и перемещения и используя формулы (8), (9), можно шаг за шагом вычислять значения v и s в последовательные моменты времени. Этот процесс несложно запрограммировать, а полученные результаты вывести в виде числовой таблицы и представить в графическом виде.

Анализ и интрпретация результатов

На рисунке показан результат графической обработки численно полученной зависимости скорости падения тела от времени при некотором наборе параметров m , k 1 и k 2 .

Зависимость скорости падения от времени с учетом сопротивления воздуха

Зависимость не имеет ничего общего с линейным изменением скорости, которое получается без учета сопротивления воздуха. Выход скорости на постоянное значение происходит в процессе приближения силы сопротивления воздуха к силе тяжести. При их равенстве движение становится равномерным.

Заметим, что установившееся предельное значение скорости можно вычислить аналитически, не прибегая к численным методам. Приравняв в формуле (6) dv/dt (ускорение) к нулю, получим, что установившаяся скорость будет равна

На основании данной модели можно, например, решать задачу оптимизации, сформулировав условие так: парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на какой высоте (или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту приземления безопасную скорость? Другая задача: как связана высота прыжка с площадью поперечного сечения парашюта (входящей в k 2), чтобы скорость приземления была безопасной?

Существенной проблемой при использовании описанного численного метода является выбор величины шага по времени t . От этой величины зависит точность получаемых результатов, устойчивость вычислительной процедуры. Все эти проблемы исследуются в математической дисциплине, которая называется “Численные методы”, или “Вычислительная математика”.

Знакомство учащихся с компьютерными моделями физических процессов в базовом курсе информатики может происходить на уровне демонстрационных примеров. На рисунке показан пример учебной демонстрационной программы, моделирующей полет снаряда, выпущенного из пушки. Задача, которая ставится перед учениками, заключается в подборе параметров (начальной скорости и угла выстрела), которые обеспечивают попадание снаряда в цель (данная программа включена в федеральную коллекцию цифровых образовательных ресурсов). Аналогичные разработки имеются и в других учебных источниках.

Полет снаряда, выпущенного из пушки

В старших классах физико-математического профиля вопросы моделирования физических процессов должны входить в программу профильной подготовки. Можно предложить следующий перечень объектов моделирования, связанных с движением тел:

· движение тел с учетом сопротивления среды (свободное падение, движение тела, брошенного под углом к горизонту, взлет ракеты и др.);

· колебательное движение маятника с учетом сопротивления среды, вынужденные колебания, резонанс и т.д.;

· движение небесных тел (задача двух тел);

· движение заряженных частиц в электрических полях.

Другие типы задач, на базе которых можно реализовывать моделирование физических процессов, связаны с описанием физических процессов в приближении сплошной среды и в электромагнитных полях:

· моделирование процесса теплопроводности и др.;

· моделирование распределений статических - электрического и магнитного - полей.

Выше был подробно разобран пример моделирования свободного падения тела в атмосфере, в котором используются дифференциальные уравнения и численные методы их решения. Если математической подготовки учеников недостаточно для понимания такого подхода, то можно построить математическую модель сразу в конечно-разностной форме, не используя дифференциальных уравнений. Продемонстрируем методику применения такого подхода.

Напомним ученикам, что ускорение есть приращение скорости за единицу времени, а скорость - приращение перемещения за единицу времени: .

Знаки приближенного равенства свидетельствуют о том, что эти соотношения тем точнее, чем меньше промежуток t ; в пределе t 0 они становятся точными.

Если в некоторый момент времени t 0 величина s имеет значение s(t 0), а величина v - значение v(t 0), то в последующий момент времени t 1 = t 0 + t будем иметь:

При этом предполагается, что ускорение в течение данного отрезка времени не изменялось и оставалось равным a (t 0). Здесь также использованы обозначения F 0 = F (t 0 ), m = m (t 0 ), т.е. имеется в виду, что сила и масса в общем случае могут быть переменными величинами.

При вычислениях значений v и s в последующие моменты времени можно поступать аналогично. Если известны значения v i и s i в момент t i , то

Таким образом, получены те же самые формулы метода Эйлера, но методически иначе. При этом вообще не упоминаются дифференциальные уравнения.

При построении этой и подобной ей моделей следует обратить внимание учащихся на то, что в разбиении непрерывного времени на отрезки длиной t проявляется одна из фундаментальных идей информатики об универсальности дискретной формы представления информации, отраженная как в конструкции компьютера, так и во множестве приложений информатики.

Отметим, что существует немало компьютерных программ, моделирующих простые физические процессы. В них реализован диалоговый интерфейс, позволяющий вводить параметры, получать на экране таблицы, графики, движущиеся изображения. Однако при их использовании остаются скрытыми физические законы, определяющие процесс, ограничения модели, возможности ее усовершенствования. Такие программы полезны скорее как иллюстративные, ознакомительные. Учащихся, изучающих информатику на профильном уровне, целесообразно ориентировать на подробный анализ математических моделей и самостоятельную разработку программ.